Determine bases para o núcleo e a imagem em cada uma das transformações lineares a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar bases para o núcleo e para a imagem da transformação linear definida por . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente de transformações lineares, núcleos e imagens. Vamos precisar usar sistemas lineares e entender como resolver equações para encontrar essas bases.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver .
Passo 3
Vamos escrever as equações que resultam dessa igualdade:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar x , y e z .
Agora, vamos encontrar a imagem de T . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando T a vetores de R^3 . Basicamente, queremos ver quais combinações lineares os vetores T(x, y, z) podem formar.
Passo 6
Vamos expressar T(x, y, z) como:
T(x, y, z) = (x - 2z, x + 2z, y + 3z)
Podemos separar as componentes para identificar as combinações lineares:
= x(1, 1, 0) + y(0, 0, 1) + z(-2, 2, 3)
Isso mostra que a imagem de T é gerada pelos vetores (1, 1, 0) , (0, 0, 1) e (-2, 2, 3) .
Passo 7
Para encontrar uma base da imagem, precisamos identificar vetores que sejam linearmente independentes. Vamos montar uma matriz com esses vetores e verificar o posto:
1 & 0 & -2 1 & 0 & 2 0 & 1 & 3
Aplicando operações de linha, vemos que o posto dessa matriz é 2, o que significa que apenas dois desses vetores são necessários para gerar a imagem.
Passo 8
Vamos verificar a independência dos vetores (1, 1, 0) e (0, 0, 1) . Eles são claramente independentes, pois nenhum é múltiplo do outro. Portanto, uma base para a imagem de T é:
, (1, 1, 0), (0, 0, 1) ,
Resposta
O núcleo de T é , (0, 0, 0) , e uma base para a imagem de T é , (1, 1, 0), (0, 0, 1) ,.