Determine bases para o núcleo e a imagem em cada uma das transformações lineares a seguir.
T: R^3 longrightarrow R^3, T(x, y, z)=(x ? 2 z, 1 x+2 z, y+3 z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar bases para o núcleo e para a imagem da transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (x - 2z, x + 2z, y + 3z) . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente de transformações lineares, núcleos e imagens. Vamos precisar usar sistemas lineares e entender como resolver equações para encontrar essas bases.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T . O núcleo é o conjunto de todos os vetores (x, y, z) em R^3 que são mapeados para o vetor zero em R^3 . Ou seja, queremos resolver T(x, y, z) = (0, 0, 0) .

Passo 3

Vamos escrever as equações que resultam dessa igualdade:
x - 2z = 0 x + 2z = 0 y + 3z = 0
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar x , y e z .

Passo 4

Observando as duas primeiras equações:
x - 2z = 0 e x + 2z = 0
Subtraindo a primeira da segunda:
(x + 2z) - (x - 2z) = 0 Rightarrow 4z = 0 Rightarrow z = 0
Com z = 0 , da primeira equação:
x - 0 = 0 Rightarrow x = 0
E da terceira equação:
y + 0 = 0 Rightarrow y = 0
Então, o único vetor no núcleo é (0, 0, 0) .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem de T . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando T a vetores de R^3 . Basicamente, queremos ver quais combinações lineares os vetores T(x, y, z) podem formar.

Passo 6

Vamos expressar T(x, y, z) como:
T(x, y, z) = (x - 2z, x + 2z, y + 3z)
Podemos separar as componentes para identificar as combinações lineares:
= x(1, 1, 0) + y(0, 0, 1) + z(-2, 2, 3)
Isso mostra que a imagem de T é gerada pelos vetores (1, 1, 0) , (0, 0, 1) e (-2, 2, 3) .

Passo 7

Para encontrar uma base da imagem, precisamos identificar vetores que sejam linearmente independentes. Vamos montar uma matriz com esses vetores e verificar o posto:
1 & 0 & -2 1 & 0 & 2 0 & 1 & 3
Aplicando operações de linha, vemos que o posto dessa matriz é 2, o que significa que apenas dois desses vetores são necessários para gerar a imagem.

Passo 8

Vamos verificar a independência dos vetores (1, 1, 0) e (0, 0, 1) . Eles são claramente independentes, pois nenhum é múltiplo do outro. Portanto, uma base para a imagem de T é:
, (1, 1, 0), (0, 0, 1) ,

Resposta

O núcleo de T é , (0, 0, 0) , e uma base para a imagem de T é , (1, 1, 0), (0, 0, 1) ,.

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