Considere a transformaçăo linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canónica, dada por:
A=[ccc 3 & -1 & 1 -1 & 3 & -1 1 & -1 & 3 ]
Considere as bases B=(1,0,1),(0,1,0),(1,0,1) e B^prime=(1,0,-1),(2,1,0),(1,1,1).
Encontre os autovalores da matriz A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os autovalores da matriz A . Estamos trabalhando com transformações lineares e matrizes, então vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como determinantes e equações características. Vamos por partes para entender tudo direitinho!

Passo 2

Primeiro, para encontrar os autovalores de uma matriz, precisamos resolver a equação característica. Essa equação é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, lambda representa os autovalores que queremos encontrar, e I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A .

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I . A matriz identidade I para uma matriz 3 times 3 é:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Então, subtraindo lambda I de A :
A - lambda I = 3 - lambda & -1 & 1 -1 & 3 - lambda & -1 1 & -1 & 3 - lambda

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = 3 - lambda & -1 & 1 -1 & 3 - lambda & -1 1 & -1 & 3 - lambda
Usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores, encontramos:
det(A - lambda I) = -lambda^3 + 9lambda^2 - 24lambda + 20

Passo 5

A próxima etapa é resolver a equação característica:
-lambda^3 + 9lambda^2 - 24lambda + 20 = 0
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
lambda^3 - 9lambda^2 + 24lambda - 20 = 0
Vamos buscar os raízes dessa equação. Tentamos valores que podem ser soluções, como os divisores de 20: 1, 2, 4, 5, etc.
Testando lambda = 2 :
2^3 - 9(2)^2 + 24(2) - 20 = 8 - 36 + 48 - 20 = 0
Então, lambda = 2 é uma solução.

Passo 6

Agora, vamos fatorar a equação utilizando lambda = 2 :
(lambda - 2)(lambda^2 - 7lambda + 10) = 0
Resolvendo a segunda parte:
lambda^2 - 7lambda + 10 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 7 pm raiz49 - 402 = 7 pm 32
Isso dá as soluções:
lambda = 5 e lambda = 2

Resposta

Os autovalores da matriz A são lambda = 2 (com multiplicidade 2) e lambda = 5 .

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