Considere a transformaçăo linear representada pela matriz na base canónica, dada por:
Considere as bases B=(1,0,1),(0,1,0),(1,0,1) e B^prime=(1,0,-1),(2,1,0),(1,1,1).
Determine a matriz de T em relação às bases B e B^prime.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canônica. Nosso objetivo é descobrir como essa transformação se comporta quando mudamos as bases de entrada e saída para B e B' , respectivamente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre mudanças de base e como representamos uma transformação linear em bases diferentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma base. Uma base é um conjunto de vetores que, combinados linearmente, conseguem representar qualquer vetor do espaço. No nosso caso, temos as bases B = (1,0,1), (0,1,0), (1,0,1) e B' = (1,0,-1), (2,1,0), (1,1,1) .
Passo 3
Para mudar a representação da transformação linear T das bases canônicas para as bases B e B' , precisamos encontrar as matrizes de mudança de base. Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base de B para a base canônica, que vamos chamar de [I]B .
Passo 4
A matriz [I]B é formada colocando os vetores da base B como colunas. Então, temos:
[I]B = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a matriz de mudança de base de B' para a base canônica, ou seja, [I]B' . Novamente, colocamos os vetores de B' como colunas:
[I]B' = 1 & 2 & 1 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 1
Passo 6
Para encontrar [I]B'^-1 , que é a inversa de [I]B' , precisamos calcular essa inversa. Vamos calcular a inversa da matriz [I]B' :
[I]B'^-1 = 12 & -2 & 12 12 & 0 & 12 12 & 1 & 12
Passo 7
Agora que temos [I]B e [I]B'^-1 , podemos encontrar a matriz da transformação T nas novas bases usando a fórmula: