Considere a transformaçăo linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canónica, dada por:
A=[ccc 3 & -1 & 1 -1 & 3 & -1 1 & -1 & 3 ]
Considere as bases B=(1,0,1),(0,1,0),(1,0,1) e B^prime=(1,0,-1),(2,1,0),(1,1,1).
Determine a matriz de T em relação às bases B e B^prime.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canônica. Nosso objetivo é descobrir como essa transformação se comporta quando mudamos as bases de entrada e saída para B e B' , respectivamente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre mudanças de base e como representamos uma transformação linear em bases diferentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma base. Uma base é um conjunto de vetores que, combinados linearmente, conseguem representar qualquer vetor do espaço. No nosso caso, temos as bases B = (1,0,1), (0,1,0), (1,0,1) e B' = (1,0,-1), (2,1,0), (1,1,1) .

Passo 3

Para mudar a representação da transformação linear T das bases canônicas para as bases B e B' , precisamos encontrar as matrizes de mudança de base. Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base de B para a base canônica, que vamos chamar de [I]B .

Passo 4

A matriz [I]B é formada colocando os vetores da base B como colunas. Então, temos:
[I]B = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a matriz de mudança de base de B' para a base canônica, ou seja, [I]B' . Novamente, colocamos os vetores de B' como colunas:
[I]B' = 1 & 2 & 1 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 1

Passo 6

Para encontrar [I]B'^-1 , que é a inversa de [I]B' , precisamos calcular essa inversa. Vamos calcular a inversa da matriz [I]B' :
[I]B'^-1 = 12 & -2 & 12 12 & 0 & 12 12 & 1 & 12

Passo 7

Agora que temos [I]B e [I]B'^-1 , podemos encontrar a matriz da transformação T nas novas bases usando a fórmula:
[T]B^B' = [I]B'^-1 cdot A cdot [I]B
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.

Passo 8

Primeiro, multiplicamos A por [I]B :
A cdot [I]B = 3 & -1 & 1 -1 & 3 & -1 1 & -1 & 3 cdot 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 = 4 & -1 & 4 -2 & 3 & -2 4 & -1 & 4

Passo 9

Agora, multiplicamos [I]B'^-1 pelo resultado anterior:
[T]B^B' = 12 & -2 & 12 12 & 0 & 12 12 & 1 & 12 cdot 4 & -1 & 4 -2 & 3 & -2 4 & -1 & 4 = 2 & -5 & 2 1 & -1 & 1 1 & 2 & 1

Resposta

A matriz da transformação T em relação às bases B e B' é:
[T]B^B' = 2 & -5 & 2 1 & -1 & 1 1 & 2 & 1

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