Considere a transformaçăo linear representada pela matriz na base canónica, dada por:
Considere as bases B=(1,0,1),(0,1,0),(1,0,1) e B^prime=(1,0,-1),(2,1,0),(1,1,1).
Determine a transformação inversa, caso exista. Caso não exista, justifique por que não existe.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma transformação linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canônica:
A = 3 & -1 & 1 -1 & 3 & -1 1 & -1 & 3
Além disso, são mencionadas duas bases B e B' , mas a principal missão aqui é determinar se a transformação T tem uma inversa. Se tiver, a gente também precisa encontrar essa transformação inversa. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre matrizes invertíveis e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ter uma inversa. Basicamente, T tem uma inversa se a gente consegue “desfazer” o que T faz. Matematicamente, isso só é possível se a matriz A que representa T for invertível.
Passo 3
Mas como saber se uma matriz é invertível? A resposta está no determinante. Se o determinante de A for diferente de zero, então A é invertível, e portanto, T também é invertível. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa.
Passo 4
Vamos calcular o determinante da matriz A . Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a, b, c, etc., são os elementos da matriz. Aplicando isso na nossa matriz:
Como det(A) = 20 e 20 é diferente de zero, isso significa que a matriz A é invertível. Portanto, a transformação T também tem uma inversa.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a matriz inversa A^-1 . Para uma matriz 3x3, o processo envolve calcular a matriz dos cofatores, transpor essa matriz e dividir cada elemento pelo determinante de A . Mas, de forma mais simples, podemos usar uma calculadora ou software matemático para encontrar A^-1 .
Para nosso propósito, vamos apresentar o resultado:
A^-1 = 120 4 & 1 & -4 1 & 4 & 1 -4 & 1 & 4
Resposta
A transformação linear T é invertível, e a sua inversa é representada pela matriz: