Considere a transformaçăo linear
representada pela matriz
na base canónica, dada por:
Considere as bases
B=(1,0,1),(0,1,0),(1,0,1) e
B^prime=(1,0,-1),(2,1,0),(1,1,1) .
Verifique se a transformação é injetiva.
Verifique se a transformação é injetiva.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3toR^3 representada pela matriz
na base canónica, e pede para verificar se
T é injetiva. Para isso vamos relacionar injetividade com determinante de
A .
Passo 2
Em álgebra linear finita,
T é injetiva se, e somente se,
ker(T)=0 . Isto acontece exatamente quando
A é invertível, ou seja, quando
det(A)neq0 .
Passo 3
Calculamos
det(A) por desenvolvimento na primeira linha:
Agora os menores:
Logo,
Passo 4
Como
det(A)=20neq0 ,
A é invertível, portanto
ker(T)=0 e
T é injetiva.
Resposta
A transformação
T é injetiva.