Considere a transformaçăo linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canónica, dada por:
A=[ccc 3 & -1 & 1 -1 & 3 & -1 1 & -1 & 3 ]
Considere as bases B=(1,0,1),(0,1,0),(1,0,1) e B^prime=(1,0,-1),(2,1,0),(1,1,1).
Verifique se a transformação é injetiva.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon R^3toR^3 representada pela matriz
A = 3 & -1 & 1 -1 & 3 & -1 1 & -1 & 3
na base canónica, e pede para verificar se T é injetiva. Para isso vamos relacionar injetividade com determinante de A.

Passo 2

Em álgebra linear finita, T é injetiva se, e somente se, ker(T)=0. Isto acontece exatamente quando A é invertível, ou seja, quando det(A)neq0.

Passo 3

Calculamos det(A) por desenvolvimento na primeira linha:
det(A) =33 & -1-1 & 3 -(-1)-1 & -11 & 3 +1-1 & 31 & -1
Agora os menores:
3 & -1-1 & 3 =9-1=8, -1 & -11 & 3 =-3+1=-2, -1 & 31 & -1 =1-3=-2
Logo,
det(A)=3cdot8-(-1)cdot(-2)+1cdot(-2)=24-2-2=20

Passo 4

Como det(A)=20neq0, A é invertível, portanto ker(T)=0 e T é injetiva.

Resposta

A transformação T é injetiva.

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