Considere a transformaçăo linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canónica, dada por:
A=[ccc 3 & -1 & 1 -1 & 3 & -1 1 & -1 & 3 ]
Considere as bases B=(1,0,1),(0,1,0),(1,0,1) e B^prime=(1,0,-1),(2,1,0),(1,1,1).
Verifique se a transformação é sobrejetiva.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear Tcolon R^3toR^3 cuja matriz na base canónica é
A = 3 & -1 & 1 -1 & 3 & -1 1 & -1 & 3
e pede para verificar se T é sobrejetiva. Em espaços de dimensão finita iguais, basta mostrar que rank(A)=3, o que equivale a det(A)neq 0.

Passo 2

Vamos calcular det(A) por expansão em cofatores na primeira linha:
det(A) =3det3 & -1 -1 & 3 -(-1)det-1 & -1 1 & 3 +1det-1 & 3 1 & -1
Agora cada menor:
det3 & -1 -1 & 3 =3cdot3 - (-1)(-1)=9-1=8,
det-1 & -1 1 & 3 =(-1)cdot3 -(-1)cdot1=-3+1=-2,
det-1 & 3 1 & -1 =(-1)(-1)-3cdot1=1-3=-2
Substituindo:
det(A)=3cdot8 +1cdot(-2)+1cdot(-2)=24-2-2=20

Passo 3

Como det(A)=20neq 0, temos rank(A)=3. Logo T é invertível e, portanto, sobrejetiva.

Resposta

A transformação T é sobrejetiva.

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