Considere a transformaçăo linear
representada pela matriz
na base canónica, dada por:
Considere as bases
B=(1,0,1),(0,1,0),(1,0,1) e
B^prime=(1,0,-1),(2,1,0),(1,1,1) .
Verifique se a transformação é sobrejetiva.
Verifique se a transformação é sobrejetiva.
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
Tcolon R^3toR^3 cuja matriz na base canónica é
e pede para verificar se
T é sobrejetiva. Em espaços de dimensão finita iguais, basta mostrar que
rank(A)=3 , o que equivale a
det(A)neq 0 .
Passo 2
Vamos calcular
det(A) por expansão em cofatores na primeira linha:
Agora cada menor:
Substituindo:
Passo 3
Como
det(A)=20neq 0 , temos
rank(A)=3 . Logo
T é invertível e, portanto, sobrejetiva.
Resposta
A transformação
T é sobrejetiva.