Considere a transformação linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canônica, dada por:
A=[ccc 3 & -1 & 1 -1 & 3 & -1 1 & -1 & 3 ]
Determine os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 1

O enunciado pede os autovetores da transformação linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
A= 3 & -1 & 1 -1& 3 & -1 1 & -1& 3
Para encontrar autovetores precisamos primeiro achar os autovalores, isto é, resolver det(A-lambda I)=0, e em seguida solucionar (A-lambda I)v=0 para cada lambda.

Passo 2

Formamos A-lambda I e calculamos o determinante:
A-lambda I = 3-lambda & -1 & 1 -1 & 3-lambda & -1 1 & -1 & 3-lambda ,
det(A-lambda I) =-(lambda^3-9lambda^2+24lambda-20) =;0
Assim o polinômio característico é
lambda^3-9lambda^2+24lambda-20=0

Passo 3

Fatorando o polinômio obtemos
lambda^3 - 9lambda^2 + 24lambda - 20 = (lambda - 2)^2 (lambda - 5) = 0
Logo os autovalores são lambda = 5 (mult. 1) e lambda = 2 (mult. 2).

Passo 4

Para resolvemos
Dessa forma as equações levam a e . Portanto um autovetor é
éúçã

Passo 5

Para resolvemos
A única condição não trivial é
Assim o espaço próprio é bidimensional, gerado por, por exemplo,

Resposta

Para lambda=5: todo autovetor é múltiplo de
1-11
Para lambda=2: o espaço próprio é
l(x,y,z)inR^3 : y=x+zr,
por exemplo gerado por
,(1,1,0)^T e ,(0,1,1)^T.

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