Considere a transformação linear representada pela matriz na base canônica, dada por:
Encontre os autovalores da matriz A.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear T: R^3 R^3 representada por uma matriz A . O objetivo aqui é encontrar os autovalores dessa matriz A . Autovalores são valores especiais ( lambda ) que, quando aplicados à matriz, não mudam a direção dos vetores no espaço. Para isso, precisamos usar um pouco de teoria sobre matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, para encontrar os autovalores, a gente precisa resolver a equação característica da matriz A . Essa equação é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade de ordem 3 (já que A é 3 times 3 ), e lambda é o autovalor que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos montar a matriz A - lambda I . Subtraindo lambda dos elementos da diagonal principal de A , temos:
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
lambda^3 - 9lambda^2 + 24lambda - 20 = 0
Passo 7
Precisamos resolver a equação cúbica:
lambda^3 - 9lambda^2 + 24lambda - 20 = 0
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Geralmente, tentamos fatores do termo constante (20) sobre fatores do coeficiente líder (1), ou seja, lambda = 1, 2, 4, 5, 10, 20 .
Testando lambda = 1 :
1 - 9 + 24 - 20 = -4 neq 0
Testando lambda = 2 :
8 - 36 + 48 - 20 = 0
Legal, lambda = 2 é uma raiz.
Passo 8
Agora, vamos fatorar lambda - 2 da equação cúbica: