Considere a transformação linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canônica, dada por:
A=[ccc 3 & -1 & 1 -1 & 3 & -1 1 & -1 & 3 ]
Encontre os autovalores da matriz A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear T: R^3 R^3 representada por uma matriz A . O objetivo aqui é encontrar os autovalores dessa matriz A . Autovalores são valores especiais ( lambda ) que, quando aplicados à matriz, não mudam a direção dos vetores no espaço. Para isso, precisamos usar um pouco de teoria sobre matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, para encontrar os autovalores, a gente precisa resolver a equação característica da matriz A . Essa equação é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade de ordem 3 (já que A é 3 times 3 ), e lambda é o autovalor que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I . Subtraindo lambda dos elementos da diagonal principal de A , temos:
A - lambda I = 3 - lambda & -1 & 1 -1 & 3 - lambda & -1 1 & -1 & 3 - lambda

Passo 4

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz A - lambda I :
det(A - lambda I) = 3 - lambda & -1 & 1 -1 & 3 - lambda & -1 1 & -1 & 3 - lambda
Vamos expandir esse determinante. Uma maneira prática é usar a regra de Sarrus ou a expansão por co-fatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)((3 - lambda)(3 - lambda) - (-1)(-1)) + 1[ -1 cdot (3 - lambda) - (-1) cdot 1 ] + 1[ -1 cdot (-1) - (3 - lambda) cdot 1 ]
Simplificando:
= (3 - lambda)[(3 - lambda)^2 - 1] + 1[-(3 - lambda) + 1] + 1[1 - (3 - lambda)]

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:
Primeiro, expandindo (3 - lambda)^2:
(3 - lambda)^2 = 9 - 6lambda + lambda^2
Então,
(3 - lambda)[9 - 6lambda + lambda^2 - 1] = (3 - lambda)(8 - 6lambda + lambda^2)
Agora, multiplicando:
(3 - lambda)(lambda^2 - 6lambda + 8) = 3lambda^2 - 18lambda + 24 - lambda^3 + 6lambda^2 - 8lambda
Juntando os termos semelhantes:
- lambda^3 + 9lambda^2 - 26lambda + 24
Agora, as outras partes:
1[-(3 - lambda) + 1] = -3 + lambda + 1 = lambda - 2
1[1 - (3 - lambda)] = 1[ lambda - 2 ] = lambda - 2
Somando tudo:
- lambda^3 + 9lambda^2 - 26lambda + 24 + lambda - 2 + lambda - 2 = -lambda^3 + 9lambda^2 - 24lambda + 20

Passo 6

Agora, temos a equação característica:
- lambda^3 + 9lambda^2 - 24lambda + 20 = 0
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
lambda^3 - 9lambda^2 + 24lambda - 20 = 0

Passo 7

Precisamos resolver a equação cúbica:
lambda^3 - 9lambda^2 + 24lambda - 20 = 0
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Geralmente, tentamos fatores do termo constante (20) sobre fatores do coeficiente líder (1), ou seja, lambda = 1, 2, 4, 5, 10, 20 .
Testando lambda = 1 :
1 - 9 + 24 - 20 = -4 neq 0
Testando lambda = 2 :
8 - 36 + 48 - 20 = 0
Legal, lambda = 2 é uma raiz.

Passo 8

Agora, vamos fatorar lambda - 2 da equação cúbica:
lambda^3 - 9lambda^2 + 24lambda - 20 = (lambda - 2)(lambda^2 - 7lambda + 10)
Agora, resolvemos a equação quadrática:
lambda^2 - 7lambda + 10 = 0

Passo 9

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 7 pm raiz49 - 402 = 7 pm raiz92 = 7 pm 32
Então:
lambda1 = 7 + 32 = 5
lambda2 = 7 - 32 = 2

Resposta

Os autovalores da matriz A são lambda = 2 e lambda = 5 .

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