Use o Teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços de
.
Todos os polinômios
com
.
Todos os polinômios
Passo 1
O enunciado pede para verificar, usando o Teorema 4.2.1 (que diz que um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se
,
e
), se o conjunto
é subespaço de
(o espaço dos polinômios de grau até 3).
Passo 2
Verificamos se o polinômio zero está em
. O polinômio zero é
cujo coeficiente
. Logo,
.
Passo 3
Checamos a aditividade. Se
estão em
, então
e o coeficiente constante continua sendo
. Logo,
.
Passo 4
Checamos a estabilidade por escalar. Para
e
temos
cujo coeficiente constante também é
. Assim,
.
Resposta
O conjunto
satisfaz as três condições do Teorema 4.2.1, portanto é subespaço de
.