Use o Teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços de R^3.
Todos os polinômios a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3 com a0=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando o Teorema 4.2.1 (que diz que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se 0in W, u,vin Wimplies u+vin W e lambdainR,,uin Wimplies lambda uin W), se o conjunto
S = ,a0+a1x+a2x^2+a3x^3mid a0=0
é subespaço de P3 (o espaço dos polinômios de grau até 3).

Passo 2

Verificamos se o polinômio zero está em S. O polinômio zero é
0 = 0 + 0cdot x + 0cdot x^2 + 0cdot x^3,
cujo coeficiente a0=0. Logo, 0in S.

Passo 3

Checamos a aditividade. Se
p(x)=0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 e q(x)=0 + b1x + b2x^2 + b3x^3
estão em S, então
p(x)+q(x) = (0+0) + (a1+b1)x + (a2+b2)x^2 + (a3+b3)x^3,
e o coeficiente constante continua sendo 0. Logo, p+qin S.

Passo 4

Checamos a estabilidade por escalar. Para lambdainR e
p(x)=0 + a1x + a2x^2 + a3x^3in S,
temos
lambda,p(x) = (lambdacdot 0) + (lambda a1)x + (lambda a2)x^2 + (lambda a3)x^3,
cujo coeficiente constante também é lambdacdot 0=0. Assim, lambda pin S.

Resposta

O conjunto S satisfaz as três condições do Teorema 4.2.1, portanto é subespaço de P3.

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