Considere a transformação linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canônica, dada por:
A=[ccc 3 & -1 & 1 -1 & 3 & -1 1 & -1 & 3 ]
Use o processo de Gram-Schmidt, se for necessário, para ortonormalizar os autovetores encontrados e determine uma base ortonormal de autovetores para a transformação T.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal de autovetores da transformação linear T:R^3toR^3 dada pela matriz simétrica
A= 3 & -1 & 1 -1& 3 &-1 1 & -1 & 3
O conteúdo é diagonalização de matriz simétrica (autovalores e autovetores) e ortonormalização por Gram–Schmidt quando houver multiplicidade de autovalor.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I) = 3-lambda & -1 & 1 -1 & 3-lambda & -1 1 & -1 & 3-lambda =lambda^3-9lambda^2+24lambda-20
Fatorando, achamos
lambda^3-9lambda^2+24lambda-20=(lambda-5)(lambda-2)^2,
portanto os autovalores são lambda=5 (multiplicidade 1) e lambda=2 (multiplicidade 2).

Passo 3

Para lambda=5 resolvemos (A-5I)v=0. O sistema é
-2x - y + z=0, -x -2y -z=0, x - y -2z=0,
que leva à relação y=-x, z=x. Um autovetor é
v1=(1,-1,1)

Passo 4

Para lambda=2 resolvemos (A-2I)v=0. A única equação não trivial é
x - y + z=0,
cuja solução geral é
(x,y,z) = x(1,1,0) + z(0,1,1)
Escolhemos vetores de base no subespaço:
u2=(1,1,0), u3=(0,1,1)

Passo 5

Aplicamos Gram–Schmidt a u2,u3:
w2 = u2, e2 = w2|w2| = (1,1,0)raiz2
w3 = u3 - lang<= u3,e2rang<= e2 = (0,1,1) - 12(1,1,0) = l(-tfrac12,tfrac12,1r)
Multiplicando por 2 para evitar frações, tomamos tilde w3=(-1,1,2) e
e3 = tilde w3|tilde w3| = (-1,1,2)raiz6

Passo 6

Por fim normalizamos v1:
|v1|=raiz1+1+1=raiz3, logo
e1 = (1,-1,1)raiz3

Resposta

A base ortonormal de autovetores de T é
e1 = 1raiz3(1,-1,1),
e2 = 1raiz2(1,1,0),
e3 = 1raiz6(-1,1,2)

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