Considere a transformação linear representada pela matriz na base canônica, dada por:
Use o processo de Gram-Schmidt, se for necessário, para ortonormalizar os autovetores encontrados e determine uma base ortonormal de autovetores para a transformação T.
Passo 1
O enunciado pede uma base ortonormal de autovetores da transformação linear T:R^3toR^3 dada pela matriz simétrica
A= 3 & -1 & 1 -1& 3 &-1 1 & -1 & 3
O conteúdo é diagonalização de matriz simétrica (autovalores e autovetores) e ortonormalização por Gram–Schmidt quando houver multiplicidade de autovalor.
Fatorando, achamos lambda^3-9lambda^2+24lambda-20=(lambda-5)(lambda-2)^2,
portanto os autovalores são lambda=5 (multiplicidade 1) e lambda=2 (multiplicidade 2).
Passo 3
Para lambda=5 resolvemos (A-5I)v=0. O sistema é -2x - y + z=0, -x -2y -z=0, x - y -2z=0,
que leva à relação y=-x, z=x. Um autovetor é
v1=(1,-1,1)
Passo 4
Para lambda=2 resolvemos (A-2I)v=0. A única equação não trivial é