Determine bases para o núcleo e a imagem em cada uma das transformações lineares a seguir.
: T: R^2 longrightarrow R^3, T(x, y)=(-1 x+y, 4 x+2 y, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar bases para o núcleo e para a imagem de uma transformação linear específica. A transformação é T: R^2 R^3 definida por T(x, y) = (-x + y, 4x + 2y, 0) . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como encontrá-los usando sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T . O núcleo é o conjunto de todos os vetores (x, y) em R^2 que são mapeados para o vetor zero em R^3 . Ou seja, queremos resolver a equação T(x, y) = (0, 0, 0) .
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
- x + y = 0 4x + 2y = 0 0 = 0
O terceiro equação é sempre verdadeira, então vamos focar nas duas primeiras.

Passo 3

Vamos resolver o sistema:
  1. Da primeira equação: -x + y = 0 Rightarrow y = x .
  2. Substituindo y = x na segunda equação: 4x + 2x = 0 Rightarrow 6x = 0 Rightarrow x = 0 .
  3. Como y = x , então y = 0 .
Portanto, o único vetor que está no núcleo de T é (0, 0) . Isso significa que o núcleo é trivial, ou seja, contém apenas o vetor zero.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem de T . A imagem é o conjunto de todos os vetores em R^3 que podem ser obtidos aplicando-se T a todos os vetores de R^2 . Para isso, podemos aplicar T aos vetores da base canônica de R^2 , que são (1, 0) e (0, 1) .
Calculando:
T(1, 0) = (-1 cdot 1 + 0, , 4 cdot 1 + 2 cdot 0, , 0) = (-1, 4, 0)
T(0, 1) = (-0 + 1, , 4 cdot 0 + 2 cdot 1, , 0) = (1, 2, 0)

Passo 5

Precisamos verificar se os vetores [(-1, 4, 0)) e são linearmente independentes. Se forem, eles formarão uma base para a imagem de .
Para isso, consideramos uma combinação linear igual a zero:
Isso resulta no seguinte sistema:
Da primeira equação: (c_2 = c_1].
Substituindo na segunda equação:
Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para a imagem de .

Resposta

  • Núcleo de T : , (0, 0) ,
  • Base para a Imagem de T : , (-1, 4, 0), (1, 2, 0) ,

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