Determine bases para o núcleo e a imagem em cada uma das transformações lineares a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar bases para o núcleo e para a imagem de uma transformação linear específica. A transformação é definida por . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como encontrá-los usando sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver a equação .
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
O terceiro equação é sempre verdadeira, então vamos focar nas duas primeiras.
Passo 3
Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação: -x + y = 0 Rightarrow y = x .
Substituindo y = x na segunda equação: 4x + 2x = 0 Rightarrow 6x = 0 Rightarrow x = 0 .
Como y = x , então y = 0 .
Portanto, o único vetor que está no núcleo de T é (0, 0) . Isso significa que o núcleo é trivial, ou seja, contém apenas o vetor zero.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a imagem de T . A imagem é o conjunto de todos os vetores em R^3 que podem ser obtidos aplicando-se T a todos os vetores de R^2 . Para isso, podemos aplicar T aos vetores da base canônica de R^2 , que são (1, 0) e (0, 1) .