Identifique se a afirmação é verdadeira ou falsa, justifique:
Passo 1
O enunciado pergunta se a desigualdade
é sempre verdadeira. O conteúdo aqui são as propriedades de uma norma em um espaço vetorial, em particular a positividade e a definitude da norma.
Passo 2
Por definição, para um vetor
em
, a norma euclidiana é
Mais genericamente, uma norma
deve satisfazer:
- Positividade:
para todo . - Definitude:
se, e somente se, .
Passo 3
Da positividade temos sempre
. A definitude afirma que o caso de igualdade
ocorre exatamente quando
. Logo, a desigualdade estrita
vale somente se
. Mas, sem essa hipótese, existe o vetor nulo que faz
, e aí a desigualdade deixa de ser verdadeira.
Resposta
A afirmação é falsa, pois para
tem-se
, não maior que zero.