Considere a transformação linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canônica, dada por:
A=[ccc 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2 ]
Determine o núcleo de T.

Passo 1

O enunciado pede o núcleo de Tcolon R^3toR^3 representada pela matriz
A= 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2
na base canônica. O conteúdo é encontrar o subespaço solução do sistema homogêneo Ax=0.

Passo 2

Escrevemos o sistema linear associado a Ax=0:
2x1 - x2 - x3 = 0
-x1 + 2x2 - x3 = 0
-x1 - x2 + 2x3 = 0

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos
3x1 - 3x2 = 0implies x1 = x2
Subtraindo a terceira da primeira obtemos
3x1 - 3x3 = 0implies x1 = x3

Passo 4

Logo x1 = x2 = x3 = t com tinR. Assim o vetor geral do núcleo é
(t,t,t) = t,(1,1,1)

Resposta

ker(T)=span(1,1,1)

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