Considere a transformação linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canônica, dada por:
A=[ccc 3 & -1 & 1 -1 & 3 & -1 1 & -1 & 3 ]
Determine a transformação inversa, caso exista. Caso não exista, justifique por que não existe.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a transformação linear
T:R^3toR^3
cuja matriz na base canônica é
A= 3 & -1 & 1 -1 & 3 & -1 1 & -1 & 3
O que precisamos é verificar se A é invertível (isto é, det(A)neq0) e, em caso afirmativo, calcular A^-1 usando a adjunta.

Passo 2

Para verificar a invertibilidade, calculamos
det(A) = 3 & -1 & 1 -1 & 3 & -1 1 & -1 & 3 =3l(3cdot3-(-1)cdot(-1)r) -(-1)l((-1)cdot3-(-1)cdot1r) +1l((-1)cdot(-1)-3cdot1r) =20

Passo 3

Como det(A)=20neq0, concluímos que A é invertível. Logo
A^-1=1det(A),adj(A) =120,adj(A)

Passo 4

Agora calculamos a matriz dos cofatores de A. Depois de avaliar todos os menores e aplicar os sinais (-1)^i+j, obtemos a matriz de cofatores
C= 8 & 2 & -2 2 & 8 & 2 -2 & 2 & 8
Como C é simétrica, a adjunta de A é adj(A)=C^T=C.

Passo 5

Portanto a inversa de A é
A^-1 =120 8 & 2 & -2 2 & 8 & 2 -2 & 2 & 8

Resposta

A transformação inversa T^-1 existe e é dada pela matriz
A^-1 =120 8 & 2 & -2 2 & 8 & 2 -2 & 2 & 8

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