Considere a transformação linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canônica, dada por:
A=[ccc 3 & -1 & 1 -1 & 3 & -1 1 & -1 & 3 ]
Verifique se a transformação é injetiva.

Passo 1

O enunciado fornece a transformação linear Tcolon R^3toR^3 dada pela matriz
A = 3 & -1 & 1 -1 & 3 & -1 1 & -1 & 3
na base canônica, e pede para verificar se T é injetiva. Lembrando que, para uma transformação linear em R^n, temos:
T é injetiva Long<=ftrightarrow ker(T) = 0 Long<=ftrightarrow det(A)neq 0 é

Passo 2

Vamos calcular det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) = 3l(3cdot3 - (-1)cdot(-1)r) ;-;(-1)l((-1)cdot3 - (-1)cdot1r) ;+;1l((-1)cdot(-1) - 3cdot1r)
Agora simplificando cada termo:
3(9 - 1) ;-;(-1)(-3 + 1) ;+; 1(1 - 3) = 3cdot8 ;-;(-1)cdot(-2) ;+;(-2) = 24 ;-; 2 ;-; 2 = 20

Passo 3

Como det(A)=20neq 0, concluímos que ker(T)=0, portanto T é injetiva.

Resposta

A transformação T é injetiva.

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