Considere a transformação linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canônica, dada por:
A=[ccc 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2 ]
Encontre os autovalores da matriz A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os autovalores da matriz A que representa uma transformação linear de R^3 para R^3. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores. Autovalores são valores escalares lambda que satisfazem a equação Av = lambda v, onde v é um autovetor diferente de zero. Para encontrar esses valores, precisamos resolver o polinômio característico da matriz A.

Passo 3

O polinômio característico é dado por det(A - lambda I), onde I é a matriz identidade de mesma dimensão que A. Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, vamos escrever a matriz A - lambda I:
A - lambda I = 2 - lambda & -1 & -1 -1 & 2 - lambda & -1 -1 & -1 & 2 - lambda

Passo 5

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3 times 3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para simplificar.

Passo 6

Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)[(2 - lambda)(2 - lambda) - (-1)(-1)] - (-1)[-1(2 - lambda) - (-1)(-1)] + (-1)[-1(-1) - (2 - lambda)(-1)]

Passo 7

Vamos simplificar cada parte:
= (2 - lambda)[(2 - lambda)^2 - 1] - (-1)[- (2 - lambda) - 1] + (-1)[1 - (-2 + lambda)]
= (2 - lambda)[(2 - lambda)^2 - 1] + (2 - lambda + 1) - (1 + 2 - lambda)
= (2 - lambda)[(2 - lambda)^2 - 1] + (3 - lambda) - (3 - lambda)
= (2 - lambda)[(2 - lambda)^2 - 1]

Passo 8

Agora, vamos expandir (2 - lambda)^2:
(2 - lambda)^2 = 4 - 4lambda + lambda^2
Então,
(2 - lambda)^2 - 1 = 4 - 4lambda + lambda^2 - 1 = 3 - 4lambda + lambda^2

Passo 9

Substituindo de volta:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(lambda^2 - 4lambda + 3)

Passo 10

Agora, fatoramos o polinômio quadrático:
lambda^2 - 4lambda + 3 = (lambda - 1)(lambda - 3)

Passo 11

Então, o polinômio característico fica:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(lambda - 1)(lambda - 3)

Passo 12

Para encontrar os autovalores, igualamos o determinante a zero:
(2 - lambda)(lambda - 1)(lambda - 3) = 0

Passo 13

As soluções dessa equação são:
lambda = 2, lambda = 1, lambda = 3

Resposta

Os autovalores da matriz A são lambda = 1, lambda = 2 e lambda = 3.

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