Seja T: R^3 R^2 uma transformação linear definida por T(1,1,1)=(1,2), T(1,1,0)=(2,3) e T(1,0,0)= (3,4).
Determine v in R^3 tal que T(v)=(-3,2).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você precisa fazer aqui. Temos uma transformação linear T: R^3 R^2 que transforma vetores de 3 dimensões em vetores de 2 dimensões. As informações que temos são:
  • T(1,1,1) = (1,2)
  • T(1,1,0) = (2,3)
  • T(1,0,0) = (3,4)
E o que queremos encontrar é um vetor v in R^3 tal que T(v) = (-3,2) .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e sistemas de equações. Vamos precisar entender como a transformação linear T atua nos vetores e como podemos expressar v de forma a satisfazer T(v) = (-3,2) .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender como T transforma os vetores. Sabemos que T é linear, o que significa que para quaisquer vetores u e w e escalares a e b , temos:
T(a u + b w) = a T(u) + b T(w)
Isso nos permite expressar qualquer vetor v como uma combinação linear de vetores conhecidos e, então, aplicar T nessa combinação.

Passo 3

Vamos assumir que o vetor v = (x, y, z) pode ser escrito como uma combinação linear de (1,1,1) , (1,1,0) e (1,0,0) . Ou seja:
v = alpha (1,1,1) + beta (1,1,0) + gamma (1,0,0)
Onde alpha , beta , e gamma são escalares que precisamos encontrar.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a transformação T em ambos os lados da equação:
T(v) = T(alpha (1,1,1) + beta (1,1,0) + gamma (1,0,0)) = alpha T(1,1,1) + beta T(1,1,0) + gamma T(1,0,0)
Substituindo os valores de T que foram dados:
T(v) = alpha (1,2) + beta (2,3) + gamma (3,4)

Passo 5

Como queremos que T(v) = (-3,2) , temos:
alpha (1,2) + beta (2,3) + gamma (3,4) = (-3,2)
Isso resulta em um sistema de equações:
alpha cdot 1 + beta cdot 2 + gamma cdot 3 = -3 alpha cdot 2 + beta cdot 3 + gamma cdot 4 = 2

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de alpha , beta e gamma .
Primeiro, escrevemos as equações:
  1. alpha + 2beta + 3gamma = -3
  2. 2alpha + 3beta + 4gamma = 2
Podemos resolver esse sistema usando o método da substituição ou eliminação. Vou usar o método da eliminação aqui.

Passo 7

Vamos multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação de alpha :
2alpha + 4beta + 6gamma = -6
Agora, subtraímos a segunda equação original dessa nova equação:
(2alpha + 4beta + 6gamma) - (2alpha + 3beta + 4gamma) = -6 - 2
Simplificando:
(0)alpha + (1)beta + (2)gamma = -8
Então, temos:
beta + 2gamma = -8

Passo 8

Agora, temos duas equações:
  1. alpha + 2beta + 3gamma = -3
  2. beta + 2gamma = -8
Vamos resolver a segunda equação para beta :
beta = -8 - 2gamma

Passo 9

Substituímos beta = -8 - 2gamma na primeira equação:
alpha + 2(-8 - 2gamma) + 3gamma = -3
Simplificando:
alpha -16 -4gamma + 3gamma = -3
alpha -16 -gamma = -3
Então:
alpha - gamma = 13
Ou seja:
alpha = 13 + gamma

Passo 10

Agora, temos:
alpha = 13 + gamma
beta = -8 - 2gamma
Como não temos mais equações, podemos escolher um valor para gamma e encontrar alpha e beta . Para simplificar, vamos escolher gamma = 0 :
Então:
alpha = 13 + 0 = 13
beta = -8 - 2(0) = -8

Passo 11

Agora que temos os valores de alpha , beta e gamma :
v = alpha (1,1,1) + beta (1,1,0) + gamma (1,0,0) = 13(1,1,1) -8(1,1,0) + 0(1,0,0)
Calculando cada componente:
v = (13 cdot 1 + (-8) cdot 1 + 0 cdot 1, 13 cdot 1 + (-8) cdot 1 + 0 cdot 0, 13 cdot 1 + (-8) cdot 0 + 0 cdot 0)
v = (13 - 8 + 0, 13 - 8 + 0, 13 + 0 + 0) = (5, 5, 13)

Resposta

O vetor v in R^3 que satisfaz T(v) = (-3,2) é v = (5, 5, 13) .

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