Seja
uma transformação linear definida por
e
.
Determine
tal que
.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você precisa fazer aqui. Temos uma transformação linear
que transforma vetores de 3 dimensões em vetores de 2 dimensões. As informações que temos são:
E o que queremos encontrar é um vetor
tal que
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e sistemas de equações. Vamos precisar entender como a transformação linear
atua nos vetores e como podemos expressar
de forma a satisfazer
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar entender como
transforma os vetores. Sabemos que
é linear, o que significa que para quaisquer vetores
e
e escalares
e
, temos:
Isso nos permite expressar qualquer vetor
como uma combinação linear de vetores conhecidos e, então, aplicar
nessa combinação.
Passo 3
Vamos assumir que o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear de
,
e
. Ou seja:
Onde
,
, e
são escalares que precisamos encontrar.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a transformação
em ambos os lados da equação:
Substituindo os valores de
que foram dados:
Passo 5
Como queremos que
, temos:
Isso resulta em um sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
,
e
.
Primeiro, escrevemos as equações:
Podemos resolver esse sistema usando o método da substituição ou eliminação. Vou usar o método da eliminação aqui.
Passo 7
Vamos multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação de
:
Agora, subtraímos a segunda equação original dessa nova equação:
Simplificando:
Então, temos:
Passo 8
Agora, temos duas equações:
Vamos resolver a segunda equação para
:
Passo 9
Substituímos
na primeira equação:
Simplificando:
Então:
Ou seja:
Passo 10
Agora, temos:
Como não temos mais equações, podemos escolher um valor para
e encontrar
e
. Para simplificar, vamos escolher
:
Então:
Passo 11
Agora que temos os valores de
,
e
:
Calculando cada componente:
Resposta
O vetor
que satisfaz
é
.