Considere a transformação linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canônica, dada por:
A=[ccc 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2 ]
Determine os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canônica:
A = 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2
O que precisamos fazer é encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor dessa matriz. Para isso, vamos precisar entender e aplicar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A . Lembra que um autovalor lambda satisfaz a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade do mesmo tamanho de A . Vamos calcular o determinante desse polinômio.

Passo 3

Vamos montar A - lambda I :
A - lambda I = 2 - lambda & -1 & -1 -1 & 2 - lambda & -1 -1 & -1 & 2 - lambda
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)[(2 - lambda)(2 - lambda) - (-1)(-1)] - (-1)[-1(2 - lambda) - (-1)(-1)] + (-1)[-1(-1) - (2 - lambda)(-1)]
Simplificando passo a passo.

Passo 4

Simplificando o determinante:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)[(2 - lambda)^2 - 1] - (-1)[- (2 - lambda) - 1] + (-1)[1 - (-2 + lambda)]
Continuando a simplificação:
= (2 - lambda)[(2 - lambda)^2 - 1] + (2 - lambda + 1) - (1 + 2 - lambda)
= (2 - lambda)[(4 - 4lambda + lambda^2) - 1] + (3 - lambda) - (3 - lambda)
= (2 - lambda)(3 - 4lambda + lambda^2)

Passo 5

Agora, temos a equação característica:
(2 - lambda)(lambda^2 - 4lambda + 3) = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar os autovalores.

Passo 6

Igualando a cada fator a zero:
  1. 2 - lambda = 0 lambda = 2
  2. lambda^2 - 4lambda + 3 = 0
Resolvendo a segunda equação quadrática:
lambda = 4 pm raiz( -4)^2 - 4 cdot 1 cdot 32 = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22
Portanto, lambda = 3 e lambda = 1 .

Passo 7

Agora que temos os autovalores:
lambda1 = 2, lambda2 = 3, lambda3 = 1
Vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles.

Passo 8

Para cada autovalor [\lambda), resolvemos a equação , onde é o autovetor.
Autovalor :
Montamos :
Resolvendo :
Da primeira equação: (v_2 = -v_3]
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Consistindo em que . Podemos escolher , então:

Passo 9

Autovalor lambda2 = 3 :
Montamos A - 3I :
A - 3I = -1 & -1 & -1 -1 & -1 & -1 -1 & -1 & -1
Resolvendo (A - 3I)v = 0 :
Todas as equações são iguais a -v1 - v2 - v3 = 0 , ou seja:
v1 + v2 + v3 = 0
Podemos expressar um vetor autovetor com duas variáveis livres. Por exemplo, deixando v2 = s e v3 = t , temos:
v1 = -s - t
Então, os autovetores são da forma:
v2 = s -1 1 0 + t -1 0 1
Podemos escolher s = 1 e t = 0 , ou s = 0 e t = 1 , por exemplo:
v2 = -1 1 0 , v3 = -1 0 1

Passo 10

Autovalor [\lambda_3 = 1):
Montamos :
Resolvendo :
Simplificando as equações, percebemos que todas elas levam a:
Podemos escolher (v_1 = 1], então:

Resposta

Os autovetores correspondentes a cada autovalor são:
  • Para lambda = 2 :
v1 = 1 1 1
  • Para lambda = 3 :
v2 = -1 1 0 , v3 = -1 0 1
  • Para lambda = 1 :
v4 = 1 1 1

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