(Transformações geométricas em R^3 ) Determine as matrizes e as respectivas transformações lineares que:
projeta (ortogonalmente) os vetores do espaço no plano z=0,

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de R^3 no plano z=0. O conteúdo é transformação linear e projeção em um subespaço. Para resolver, precisamos do vetor normal ao plano e da fórmula geral de projeção ortogonal num plano.

Passo 2

O plano z=0 tem vetor normal
n = (0,0,1)
A projeção ortogonal de um vetor v num plano com normal n é dada por
T(v) = v - lang<= v, nrang<=lang<= n, nrang<=,n

Passo 3

Para v=(x,y,z) calculamos
lang<= v,nrang<= = z, lang<= n,nrang<= = 1,
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T(x,y,z) = (x,y,z) - z,(0,0,1) = (x,y,0)

Passo 4

Para achar a matriz na base canônica, vemos onde vão os vetores
e1=(1,0,0)mapsto(1,0,0), e2=(0,1,0)mapsto(0,1,0), e3=(0,0,1)mapsto(0,0,0)
Assim, a matriz P tem como colunas as imagens de e1,e2,e3.

Resposta

A transformação linear é
T:R^3toR^3, T(x,y,z)=(x,y,0)
A matriz dessa projeção na base canônica é
P = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0

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