(Transformações geométricas em
) Determine a matriz e a transformação linear associada, que:
projeta (ortogonalmente) os vetores no eixo
,
projeta (ortogonalmente) os vetores no eixo
Passo 1
O enunciado pede a projeção ortogonal de vetores de
sobre o eixo
. O conteúdo envolvido é transformação linear e projeção ortogonal em espaços com produto interno. Vamos usar a fórmula de projeção de um vetor em outra direção e depois expressar a transformação na base canônica.
Passo 2
Seja
a projeção ortogonal no eixo
. Para um vetor genérico
, podemos ver a projeção como
Como
e
, obtemos
Passo 3
Para encontrar a matriz de
na base canônica
, calculamos
Logo as colunas da matriz são
e
, respectivamente, resultando em
]
Resposta
A transformação linear é
e sua matriz na base canônica é
]