(Transformações geométricas em R^2 ) Determine a matriz e a transformação linear associada, que:
projeta (ortogonalmente) os vetores no eixo x,

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de vetores de R^2 sobre o eixo x. O conteúdo envolvido é transformação linear e projeção ortogonal em espaços com produto interno. Vamos usar a fórmula de projeção de um vetor em outra direção e depois expressar a transformação na base canônica.

Passo 2

Seja TcolonR^2toR^2 a projeção ortogonal no eixo x. Para um vetor genérico (x,y), podemos ver a projeção como
proj(1,0)(x,y) = lang<=(x,y),(1,0)rang<=lang<=(1,0),(1,0)rang<=,(1,0)
Como lang<=(x,y),(1,0)rang<= = x e lang<=(1,0),(1,0)rang<==1, obtemos
T(x,y) = (x,0)

Passo 3

Para encontrar a matriz de T na base canônica e1=(1,0),,e2=(0,1) , calculamos
T(e1) = T(1,0) = (1,0), T(e2) = T(0,1) = (0,0)
Logo as colunas da matriz são T(e1) e T(e2), respectivamente, resultando em
[T] = 1 & 0 [6pt] 0 & 0
]

Resposta

A transformação linear é
T(x,y) = (x,0),
e sua matriz na base canônica é
1 & 0 [6pt] 0 & 0
]

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