Considere a transformação linear representada pela matriz na base canônica, dada por:
Use o processo de Gram-Schmidt, se for necessário, para ortonormalizar os autovetores encontrados e obtenha uma base ortonormal de autovetores para a transformação T.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem uma transformação linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A . O objetivo é encontrar os autovetores dessa matriz e, se necessário, usar o processo de Gram-Schmidt para ortonormalizá-los, ou seja, transformar esses autovetores em uma base onde eles sejam mutuamente perpendiculares e com norma 1. Para isso, vamos precisar entender como encontrar autovalores e autovetores e aplicar o método de Gram-Schmidt.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz A . Os autovalores são valores lambda que satisfazem a equação característica det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade.
Somando as três equações, obtemos -v1 - v2 - v3 = 0 , ou seja, v1 + v2 + v3 = 0 .
Podemos escolher dois vetores independentes que satisfazem essa condição. Por exemplo:
v2 = 1 -1 0 , v3 = 1 1 -2
Passo 7
Agora temos os autovetores:
v1 = 1 1 1 , v2 = 1 -1 0 , v3 = 1 1 -2
Para obter uma base ortonormal, precisamos garantir que os vetores sejam mutuamente perpendiculares e com norma 1. Vamos verificar se já estão ortogonais: