Considere a transformação linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A na base canônica, dada por:
A=[ccc 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2 ]
Use o processo de Gram-Schmidt, se for necessário, para ortonormalizar os autovetores encontrados e obtenha uma base ortonormal de autovetores para a transformação T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem uma transformação linear T: R^3 R^3 representada pela matriz A . O objetivo é encontrar os autovetores dessa matriz e, se necessário, usar o processo de Gram-Schmidt para ortonormalizá-los, ou seja, transformar esses autovetores em uma base onde eles sejam mutuamente perpendiculares e com norma 1. Para isso, vamos precisar entender como encontrar autovalores e autovetores e aplicar o método de Gram-Schmidt.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz A . Os autovalores são valores lambda que satisfazem a equação característica det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade.
A matriz A dada é:
A = 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2
Vamos calcular o determinante de A - lambda I :
det(A - lambda I) = det 2 - lambda & -1 & -1 -1 & 2 - lambda & -1 -1 & -1 & 2 - lambda

Passo 3

Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)[(2 - lambda)(2 - lambda) - (-1)(-1)] - (-1)[(-1)(2 - lambda) - (-1)(-1)] + (-1)[(-1)(-1) - (2 - lambda)(-1)]
Simplificando os cálculos:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)[(2 - lambda)^2 - 1] - (-1)[(-1)(2 - lambda) - 1] + (-1)[1 - (-1)(2 - lambda)]
Após simplificação, obtemos o polinômio característico:
det(A - lambda I) = -lambda^3 + 6lambda^2 - 9lambda + 4 = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação cúbica -lambda^3 + 6lambda^2 - 9lambda + 4 = 0 . Testando possíveis raízes racionais, encontramos que lambda = 1 é uma raiz.
Fatorando (lambda - 1) :
-lambda^3 + 6lambda^2 - 9lambda + 4 = -(lambda - 1)(lambda^2 - 5lambda + 4) = 0
Então, as raízes restantes da equação quadrática lambda^2 - 5lambda + 4 = 0 são:
lambda = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm 32 Rightarrow lambda = 4 ou lambda = 1
Portanto, os autovalores são lambda1 = 1 (multiplicidade 2) e lambda2 = 4 .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda = 4 :
Resolvemos (A - 4I)v = 0 :
-2 & -1 & -1 -1 & -2 & -1 -1 & -1 & -2 v1 v2 v3 = 0 0 0
Isso nos leva ao sistema:
-2v1 - v2 - v3 = 0 - v1 - 2v2 - v3 = 0 - v1 - v2 - 2v3 = 0
Resolvendo, percebemos que v1 = v2 = v3 . Portanto, um autovetor para lambda = 4 é:
v1 = 1 1 1

Passo 6

Para lambda = 1 , resolvemos (A - I)v = 0 :
1 & -1 & -1 -1 & 1 & -1 -1 & -1 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0
Isso nos dá o sistema:
v1 - v2 - v3 = 0 - v1 + v2 - v3 = 0 - v1 - v2 + v3 = 0
Somando as três equações, obtemos -v1 - v2 - v3 = 0 , ou seja, v1 + v2 + v3 = 0 .
Podemos escolher dois vetores independentes que satisfazem essa condição. Por exemplo:
v2 = 1 -1 0 , v3 = 1 1 -2

Passo 7

Agora temos os autovetores:
v1 = 1 1 1 , v2 = 1 -1 0 , v3 = 1 1 -2
Para obter uma base ortonormal, precisamos garantir que os vetores sejam mutuamente perpendiculares e com norma 1. Vamos verificar se já estão ortogonais:
Calculando o produto interno de v1 com v2 :
v1 cdot v2 = 1 cdot 1 + 1 cdot (-1) + 1 cdot 0 = 0
Fazendo o mesmo para v1 e v3 :
v1 cdot v3 = 1 cdot 1 + 1 cdot 1 + 1 cdot (-2) = 0
E para v2 e v3 :
v2 cdot v3 = 1 cdot 1 + (-1) cdot 1 + 0 cdot (-2) = 0
Legal, todos os vetores são ortogonais entre si!

Passo 8

Agora, precisamos normalizar cada vetor para que eles tenham norma 1. A norma de um vetor v é dada por:
|v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2
Calculando as normas:
Para v1 :
|v1| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Para v2 :
|v2| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2
Para v3 :
|v3| = raiz1^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz6

Passo 9

Finalmente, dividimos cada vetor pela sua norma para obter os vetores unitários:
u1 = 1raiz3 1 1 1 , u2 = 1raiz2 1 -1 0 , u3 = 1raiz6 1 1 -2
Como os vetores já eram mutuamente ortogonais, agora eles formam uma base ortonormal.

Resposta

A base ortonormal de autovetores para a transformação T é dada por:
u1 = 1raiz3 1 1 1 , u2 = 1raiz2 1 -1 0 , u3 = 1raiz6 1 1 -2

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