Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}), definida por T(1,0,0)=t^{2}-1, T(0,1,0)=t e T(0,0,1)=2.
I. Escolha bases \alpha e \beta de modo adequado e determine a matriz [T]_{\beta}^{\alpha}.
II. Calcule:
a) T^{-1}\left(x t^{2}+y t+z\right)
b) \left[T^{-1}\right]_{\alpha}^{\beta}
c) \left[T^{-1}\right]_{\alpha}^{\beta} \cdot[T]_{\beta}^{\alpha}
Passo 1
O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to P_2(\mathbb{R}) por
T(1,0,0)=t^2-1,\quad T(0,1,0)=t,\quad T(0,0,1)=2.
Vamos escolher como base \alpha de \mathbb{R}^3 a base canônica \{e_1,e_2,e_3\}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}
e como base \beta de P_2(\mathbb{R}) o conjunto \{t^2,t,1\}.
Passo 2
Para obter [T]_\beta^\alpha escrevemos cada T(e_i) em coordenadas na base \beta:
T(e_1)=t^2-1=1\cdot t^2+0\cdot t+(-1)\cdot1,
T(e_2)=t=0\cdot t^2+1\cdot t+0\cdot1,
T(e_3)=2=0\cdot t^2+0\cdot t+2\cdot1.
Assim, a matriz cujas colunas são esses vetores de coordenadas é