(2,5 pontos) Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, definido por
T(x, y, z)=(z, y, x)
Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços de T.

Passo 1

O enunciado define o operador linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z)=(z,y,x).
Queremos encontrar o polinômio característico de T, os autovalores e os autoespaços. Para isso, vamos representar T por sua matriz na base canônica e calcular \det(A-\lambda I), em seguida resolver (A-\lambda I)v=0 para cada autovalor.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Então
A-\lambda I =\begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 1\\\\ 0 & 1-\lambda & 0\\\\ 1 & 0 & -\lambda \end{pmatrix}.

Passo 3

Vamos calcular o determinante por expansão na primeira linha:
\det(A-\lambda I) =-\lambda\det\begin{pmatrix}1-\lambda&0\\\ 0&-\lambda\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}0&1-\lambda\\\ 1&0\end{pmatrix}.
O primeiro termo é
-\lambda\,(1-\lambda)(-\lambda)=\lambda^2(1-\lambda),
e o segundo vale
\det\begin{pmatrix}0&1-\lambda\\\ 1&0\end{pmatrix} =-(1-\lambda).
Logo
\det(A-\lambda I) =\lambda^2(1-\lambda)-(1-\lambda) =(1-\lambda)(\lambda^2-1) =(1-\lambda)(\lambda-1)(\lambda+1).

Passo 4

Reescrevendo em forma fatorada, obtemos
\det(A-\lambda I) =-(\lambda-1)^2(\lambda+1).
Dessa forma os autovalores são
\lambda=1 com multiplicidade algébrica 2 e
\lambda=-1 com multiplicidade algébrica 1.

Passo 5

Para \lambda=1 resolvemos
(A-I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Dessa equação segue z=x e y livre. Logo o autoespaço associado a \lambda=1 é
E_1=\{(x,y,x)\mid x,y\in\mathbb{R}\} =\mathrm{Span}\{(1,0,1),(0,1,0)\}.

Passo 6

Para \lambda=-1 resolvemos
(A+I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Dessa equação vem y=0 e z=-x. Assim o autoespaço de \lambda=-1 é
E_{-1}=\{(x,0,-x)\mid x\in\mathbb{R}\} =\mathrm{Span}\{(1,0,-1)\}.

Resposta

O polinômio característico de T é
\det(A-\lambda I) =-(\lambda-1)^2(\lambda+1),
os autovalores são
\lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e
\lambda=-1 (multiplicidade algébrica 1),
com autoespaços
E_1=\mathrm{Span}\{(1,0,1),(0,1,0)\}, \quad E_{-1}=\mathrm{Span}\{(1,0,-1)\}.

Exercícios relacionados