Considere a transformação linear T: R^3 R^3 que satisfaz:
i. T(1,1,-1)=(1,1,2)
ii. T(-1,1,1)=(-2,2,2)
iii. (-1,1,0) in KerT.
Determine:
T(x, y, z).

Passo 1

O enunciado pede a forma explícita de uma transformação linear
;TcolonR^3toR^3,
sabendo-se que
T(1,1,-1)=(1,1,2), T(-1,1,1)=(-2,2,2),
e que (-1,1,0) está no núcleo de T.
O conteúdo aqui é que, ao definirmos T em uma base de R^3, a linearidade determina T em qualquer vetor.

Passo 2

Verificamos que os três vetores
b1=(1,1,-1), b2=(-1,1,1), b3=(-1,1,0)
formam uma base de R^3 porque o determinante da matriz cujas linhas são b1,b2,b3 é não nulo. Logo, todo vetor (x,y,z) pode ser escrito de modo único como
(x,y,z)=alpha,b1+beta,b2+gamma,b3

Passo 3

Para achar alpha,beta,gamma escrevemos o sistema
x = alpha - beta - gamma, y = alpha + beta + gamma, z = -alpha + beta,
cuja solução é
alpha = x+y2, beta = x+y+2z2, gamma = -(x+z)

Passo 4

Pela linearidade de T,
T(x,y,z) = alpha,T(b1)+beta,T(b2)+gamma,T(b3)
Como T(b1)=(1,1,2), T(b2)=(-2,2,2) e T(b3)=0, resulta
T(x,y,z) =alpha,(1,1,2)+beta,(-2,2,2)

Passo 5

Substituindo alpha e beta achados no passo anterior,
T(x,y,z) =l(alpha-2beta,;alpha+2beta,;2alpha+2betar),
ou seja
T(x,y,z) =l( -tfracx+y+4z2,; tfrac3x+3y+4z2,; 2x+2y+2z r)

Resposta

T(x,y,z) =l( -tfracx+y+4z2,; tfrac3x+3y+4z2,; 2(x+y+z) r)

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