Exiba uma base para cada um dos espaços vetoriais e em seguida determine a dimensão do espaço.
W=(x, y, z) / z=3 y.

Passo 1

O enunciado pede uma base e a dimensão do subespaço W=(x,y,z)in R^3mid z=3y. O conteúdo envolve subespaços de R^3 definidos por equações lineares, e vamos usar parametrização para encontrar a base.

Passo 2

Como a condição z=3y é uma equação linear, basta escolher duas variáveis livres para descrever qualquer vetor de W. Aqui tomamos x e y como parâmetros e expressamos z em função de y.

Passo 3

Sejam s e t parâmetros tais que x=s e y=t. Então
(x,y,z)=(s,,t,,3t)=s,(1,0,0)+t,(0,1,3)
Isso mostra que todo vetor de W é combinação linear de (1,0,0) e (0,1,3).

Passo 4

Verificamos que (1,0,0) e (0,1,3) são linearmente independentes em R^3, pois nenhum é múltiplo do outro. Portanto eles formam uma base de W. Como há dois vetores na base, concluímos que dim(W)=2.

Resposta

Uma base de W é (1,0,0),,(0,1,3) e dim(W)=2.

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