Exibir o núcleo, uma base para o núcleo e uma base para a imagem de cada uma das transformações. Em seguida, verifique que
dim V=dimKer T+dimIm T
T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(x-2 y+z, 3 x+2 y-z)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o núcleo e a imagem da transformação linear
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z) = (,x - 2y + z,;3x + 2y - z,)
O conteúdo envolve resolver um sistema linear para ker T, identificar colunas independentes para Im T e verificar a fórmula
dim R^3 = dimker T + dimIm T.

Passo 2

Para achar
isto é, o sistema
Da primeira equação vem e as soluções são

Passo 3

Portanto
temos uma base e

Passo 4

A imagem de é gerada pelas colunas da matriz
isto é, pelos vetores
. Observando que
concluímos que e são independentes e já geram todo . Assim
temos base e

Passo 5

Agora verificamos a fórmula
dim R^3 = 3, dimker T + dimIm T = 1 + 2 = 3,
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dim R^3 = dimker T + dimIm T

Resposta

base do núcleo ,
base da imagem ,
e confirma-se que

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