Verifique quais dentre as funções abaixo são transformações lineares.
dada por
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
e pede para verificar se
é uma transformação linear. Vamos usar a definição de linearidade, que exige aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Recordando a definição,
é linear se, para quaisquer matrizes
e escalar
, valerem
-
(aditividade) -
(homogeneidade)
Passo 3
Calculemos a aditividade de forma genérica. Se
então
e
Por outro lado,
Como surgem os termos cruzados
, não temos
em geral.
Passo 4
Podemos ainda ver o mesmo com um exemplo concreto. Seja
Então
T(A)=1cdot0=0 e
T(B)=0cdot1=0 , mas
Logo a aditividade falha.
Passo 5
Também podemos testar homogeneidade: para
cinR e
temos
em geral (
c^2neq c para
cneq0,1 ).
Resposta
A aplicação
T não é transformação linear porque falha tanto em aditividade quanto em homogeneidade.