Verifique quais dentre as funções abaixo são transformações lineares.
T: M2 times 2 R dada por T(lla & b c & d)=a cdot d

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
Tcolon M2times2toR, Tl(a & b c & dr)=acdot d
e pede para verificar se T é uma transformação linear. Vamos usar a definição de linearidade, que exige aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Recordando a definição, T é linear se, para quaisquer matrizes A,Bin M2times2 e escalar cinR, valerem
  1. T(A+B)=T(A)+T(B) (aditividade)
  2. T(cA)=c,T(A) (homogeneidade)

Passo 3

Calculemos a aditividade de forma genérica. Se
A=a1 & b1 c1 & d1, B=a2 & b2 c2 & d2,
então
A+B=a1+a2 & b1+b2 c1+c2 & d1+d2
e
T(A+B)=(a1+a2)(d1+d2) =a1d1 + a1d2 + a2d1 + a2d2
Por outro lado,
T(A)+T(B)=a1d1 + a2d2
Como surgem os termos cruzados a1d2 + a2d1, não temos T(A+B)=T(A)+T(B) em geral.

Passo 4

Podemos ainda ver o mesmo com um exemplo concreto. Seja
A=1 & 0 0 & 0, B=0 & 0 0 & 1
Então T(A)=1cdot0=0 e T(B)=0cdot1=0, mas
A+B=1 & 0 0 & 1 Longrightarrow T(A+B)=1cdot1=1neq0+0
Logo a aditividade falha.

Passo 5

Também podemos testar homogeneidade: para cinR e
A=a & b c' & d,
temos
T(cA)=(ca),(cd)=c^2,(a,d)neq c,(a,d)=c,T(A)
em geral ( c^2neq c para cneq0,1).

Resposta

A aplicação T não é transformação linear porque falha tanto em aditividade quanto em homogeneidade.

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