Considere uma transformação linear T: R^3 R^3, satisfazendo T(2,0,1)=raiz[23]2(-2,0,-1), T(1,1,0)=(1,1,0), T(1,0,0)=(-1,0,0) e seja C=(2,0,1),(1,1,0),(1,0,0)
Determine T^23(2,4,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema passo a passo! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear T: R^3 R^3 que transforma três vetores específicos de maneira dada. Nosso objetivo é descobrir o resultado de aplicar essa transformação 23 vezes no vetor (2, 4, 3) , ou seja, calcular T^23(2, 4, 3) . Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares e propriedades de matrizes elevadas a potências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a base C = (2, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) . Essa base é importante porque a transformação T está definida especificamente para esses vetores. Como T é linear, podemos representá-la por uma matriz em relação a essa base.

Passo 3

Vamos construir a matriz de T na base C . Sabemos como T age em cada vetor da base:
T(2, 0, 1) = raiz[23]2 cdot (-2, 0, -1)
T(1, 1, 0) = (1, 1, 0)
T(1, 0, 0) = (-1, 0, 0)
Cada coluna da matriz de T será a coordenada da imagem de cada vetor da base em relação a C . Vamos calcular essas coordenadas.

Passo 4

Para encontrar as coordenadas de T(2, 0, 1) em relação a C , precisamos expressar raiz[23]2 cdot (-2, 0, -1) como uma combinação linear dos vetores de C . Observando que (2, 0, 1) multiplicado por -raiz[23]2 resulta em raiz[23]2 cdot (-2, 0, -1) , podemos ver que:
T(2, 0, 1) = raiz[23]2 cdot (-1) cdot (2, 0, 1)
Portanto, a coordenada correspondente é -raiz[23]2 .

Passo 5

De forma similar, T(1, 1, 0) = (1, 1, 0) indica que este vetor é um autovetor de T com autovalor 1. Isso significa que a coordenada correspondente é 1.
Para T(1, 0, 0) = (-1, 0, 0) , vemos que multiplicamos o vetor por -1. Então, a coordenada correspondente é -1.

Passo 6

Com essas coordenadas, a matriz de T na base C fica diagonal:
[T]C = -raiz[23]2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1
Essa matriz é fácil de elevar a potências porque é diagonal. Cada elemento na diagonal é elevado à potência desejada.

Passo 7

Agora, vamos elevar a matriz [T]C à 23ª potência:
[T]C^23 = (-raiz[23]2)^23 & 0 & 0 0 & 1^23 & 0 0 & 0 & (-1)^23 = -2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1
Note que (-raiz[23]2)^23 = -2 , 1^23 = 1 e (-1)^23 = -1 .

Passo 8

Agora, precisamos aplicar T^23 ao vetor (2, 4, 3) . Para isso, primeiro expressamos (2, 4, 3) na base C . Resolvendo o sistema:
2 = 2a + 1b + 1c
4 = 0a + 1b + 0c
3 = 1a + 0b + 0c
Da segunda equação, b = 4 . Da terceira, a = 3 . Substituindo na primeira:
2 = 2(3) + 4 + c Rightarrow 2 = 6 + 4 + c Rightarrow c = -8
Portanto, (2, 4, 3) na base C é 3 4 -8 .

Passo 9

Aplicando [T]C^23 a esse vetor:
[T]C^23 3 4 -8 = -2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 3 4 -8 = -2 cdot 3 1 cdot 4 -1 cdot (-8) = -6 4 8

Resposta

Então, T^23(2, 4, 3) = (-6, 4, 8) .

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