Considere uma transformação linear , satisfazendo , e seja
Determine .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema passo a passo! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que transforma três vetores específicos de maneira dada. Nosso objetivo é descobrir o resultado de aplicar essa transformação 23 vezes no vetor , ou seja, calcular . Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares e propriedades de matrizes elevadas a potências.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a base . Essa base é importante porque a transformação está definida especificamente para esses vetores. Como é linear, podemos representá-la por uma matriz em relação a essa base.
Passo 3
Vamos construir a matriz de na base . Sabemos como age em cada vetor da base:
Cada coluna da matriz de será a coordenada da imagem de cada vetor da base em relação a . Vamos calcular essas coordenadas.
Passo 4
Para encontrar as coordenadas de em relação a , precisamos expressar como uma combinação linear dos vetores de . Observando que multiplicado por resulta em , podemos ver que:
Portanto, a coordenada correspondente é .
Passo 5
De forma similar, indica que este vetor é um autovetor de com autovalor 1. Isso significa que a coordenada correspondente é 1.
Para , vemos que multiplicamos o vetor por -1. Então, a coordenada correspondente é -1.
Passo 6
Com essas coordenadas, a matriz de na base fica diagonal:
Essa matriz é fácil de elevar a potências porque é diagonal. Cada elemento na diagonal é elevado à potência desejada.