Seja
a transformação linear dada por:
Determine a Imagem de
e encontre uma base para esse subespaço e sua dimensão.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
O conteúdo é derivação de polinômios. Vamos precisar: (i) escrever um polinômio genérico de grau
, (ii) calcular sua derivada e (iii) caracterizar o conjunto de todas as derivadas possíveis.
Passo 2
Seja um polinômio genérico em
dado por
com coeficientes
. Então sua derivada é
Passo 3
O polinômio
é um elemento genérico de
, pois os coeficientes
variam livremente em
quando
variam. Logo
Passo 4
Como
, uma base natural é a base padrão de
:
Passo 5
O espaço
tem dimensão
. Portanto
Resposta
A imagem de
é todo o espaço
.
Uma base para é
e
.
Uma base para