Seja T: P3 P2 a transformação linear dada por:
T(p(x))=dd x(p(x))
Determine a Imagem de T e encontre uma base para esse subespaço e sua dimensão.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon P3to P2 por
Tl(p(x)r)=ddxl(p(x)r)
O conteúdo é derivação de polinômios. Vamos precisar: (i) escrever um polinômio genérico de grau <=3, (ii) calcular sua derivada e (iii) caracterizar o conjunto de todas as derivadas possíveis.

Passo 2

Seja um polinômio genérico em P3 dado por
p(x)=a3x^3+a2x^2+a1x+a0,
com coeficientes a3,a2,a1,a0inR. Então sua derivada é
Tl(p(x)r)=p'(x)=3a3x^2+2a2x+a1

Passo 3

O polinômio p'(x)=3a3x^2+2a2x+a1 é um elemento genérico de P2, pois os coeficientes 3a3,2a2,a1 variam livremente em R quando a3,a2,a1 variam. Logo
Im(T)=P2

Passo 4

Como Im(T)=P2, uma base natural é a base padrão de P2:
,1,;x,;x^2

Passo 5

O espaço P2 tem dimensão 3. Portanto
diml(Im(T)r)=3

Resposta

A imagem de T é todo o espaço P2.
Uma base para Im(T) é 1,,x,,x^2 e dim(Im(T))=3.

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