Seja
a transformação linear dada por:
Determine o Núcleo de
e encontre um a base para esse subespaço e sua dimensão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o núcleo da transformação linear
que basicamente faz a derivada dos polinômios. Ou seja,
. Vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais, transformações lineares, e entender o que é o núcleo de uma transformação. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os polinômios
em
tal que
. Ou seja, queremos encontrar todos os polinômios que, ao serem derivados, dão zero.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como a derivada de um polinômio pode ser zero. Sabemos que a derivada de um polinômio constante é zero. Então, se
é constante,
. Mas será que só os polinômios constantes satisfazem essa condição? Não exatamente. Vamos ver mais detalhadamente.
Passo 4
Considere um polinômio geral de
:
Vamos derivar esse polinômio:
Queremos que
. Isso significa que todos os coeficientes da derivada devem ser iguais a zero.
Passo 5
Igualando os coeficientes a zero, temos:
Portanto,
. O polinômio
fica então:
Isso mostra que o núcleo de
é o conjunto dos polinômios constantes.
Resposta
O núcleo de
é o conjunto dos polinômios constantes
. Uma base para esse subespaço é
e sua dimensão é 1.