Seja T: P3 P2 a transformação linear dada por:
T(p(x))=dd x(p(x))
Determine o Núcleo de T e encontre um a base para esse subespaço e sua dimensão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o núcleo da transformação linear T: P3 P2 que basicamente faz a derivada dos polinômios. Ou seja, T(p(x)) = ddx(p(x)) . Vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais, transformações lineares, e entender o que é o núcleo de uma transformação. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de T , denotado por Ker(T) , é o conjunto de todos os polinômios p(x) em P3 tal que T(p(x)) = 0 . Ou seja, queremos encontrar todos os polinômios que, ao serem derivados, dão zero.

Passo 3

Agora, vamos pensar em como a derivada de um polinômio pode ser zero. Sabemos que a derivada de um polinômio constante é zero. Então, se p(x) é constante, T(p(x)) = 0 . Mas será que só os polinômios constantes satisfazem essa condição? Não exatamente. Vamos ver mais detalhadamente.

Passo 4

Considere um polinômio geral de P3 :
p(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3
Vamos derivar esse polinômio:
T(p(x)) = ddx(p(x)) = a1 + 2a2x + 3a3x^2
Queremos que T(p(x)) = 0 . Isso significa que todos os coeficientes da derivada devem ser iguais a zero.

Passo 5

Igualando os coeficientes a zero, temos:
a1 = 0
2a2 = 0 implies a2 = 0
3a3 = 0 implies a3 = 0
Portanto, a1 = a2 = a3 = 0 . O polinômio p(x) fica então:
p(x) = a0
Isso mostra que o núcleo de T é o conjunto dos polinômios constantes.

Resposta

O núcleo de T é o conjunto dos polinômios constantes p(x) = a0 . Uma base para esse subespaço é 1 e sua dimensão é 1.

Exercícios relacionados