Considere uma transformação linear T: R^3 R^3, satisfazendo T(2,0,1)=raiz[23]2(-2,0,-1), T(1,1,0)=(1,1,0), T(1,0,0)=(-1,0,0) e seja C=(2,0,1),(1,1,0),(1,0,0)
(c) Verifique que C é uma base de R^3 e calcule a matriz mudança da base canônica para a base C.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
C = v1,,v2,,v3 com v1=(2,0,1),;v2=(1,1,0),;v3=(1,0,0)
é uma base de R^3 e, em seguida, calcular a matriz de mudança da base canônica E=e1,e2,e3 para a base C. Para isso vamos usar deteminantes para verificar independência linear e depois formar a matriz cujas colunas são v1,v2,v3 e invertê-la.

Passo 2

Montamos a matriz cujas colunas são os vetores de C em relação à base canônica:
P = l[,v1;v2;v3r] = 2 & 1 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0
Calculamos o determinante para verificar independência linear:
det(P) = 2 & 1 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 = 2cdot(1cdot0 - 0cdot0) -1cdot(0cdot0 - 0cdot1) +1cdot(0cdot0 - 1cdot1) = -1 neq 0
Como det(P)neq0, os vetores são L.I. e formam base de R^3.

Passo 3

A matriz P satisfaz
[x]E ;=; P,[x]C,
onde [x]E e [x]C são as coordenadas de x nas bases E e C. Para obter a matriz de mudança de E para C, que converte [x]E em [x]C, basta inverter P:
P^-1 = 1det(P)adj(P) = -1cdot 0 & 0 & -1 0 & -1 & 1 -1& 0 & 2 ^!T = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & -1 & -2

Resposta

C é base de R^3 pois det(P)=-1neq0.
A matriz de mudança da base canônica para a base C é
P^-1 = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & -1 & -2

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