Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(b) Uma transfomação linear pode ser injetora.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Uma transformação linear pode ser injetora.” Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e injetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear injetora. Uma transformação linear é injetora se, sempre que , então . Em outras palavras, diferentes vetores em são mapeados para diferentes vetores em .
Passo 3
Para verificar se pode ser injetora, vamos considerar as dimensões dos espaços. A dimensão de é 3 e a de é 4.
Passo 4
Uma transformação linear entre espaços de dimensão finita é injetora se o número de dimensões do domínio for menor ou igual ao número de dimensões do contradomínio e se a aplicação tiver posto máximo possível. No nosso caso, como , existe a possibilidade de uma transformação injetora.
Passo 5
Para provar que tal transformação existe, vamos construir um exemplo concreto. Podemos definir através de uma matriz de tamanho com posto 3. Por exemplo:
Passo 6
Essa matriz A tem posto 3, pois há 3 colunas linearmente independentes. Portanto, a transformação linear T associada a essa matriz é injetora, pois apenas o vetor nulo é mapeado para o vetor nulo em R^4 .
Resposta
A afirmação é Verdadeira. Uma transformação linear T: R^3 R^4 pode ser injetora, conforme demonstrado pelo exemplo construído.