Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(b) Uma transfomação linear T: R^3 R^4 pode ser injetora.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Uma transformação linear T: R^3 R^4 pode ser injetora.” Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e injetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear injetora. Uma transformação linear T: V W é injetora se, sempre que T(v1) = T(v2) , então v1 = v2 . Em outras palavras, diferentes vetores em V são mapeados para diferentes vetores em W .

Passo 3

Para verificar se T: R^3 R^4 pode ser injetora, vamos considerar as dimensões dos espaços. A dimensão de R^3 é 3 e a de R^4 é 4.

Passo 4

Uma transformação linear entre espaços de dimensão finita é injetora se o número de dimensões do domínio for menor ou igual ao número de dimensões do contradomínio e se a aplicação tiver posto máximo possível. No nosso caso, como 3 <= 4 , existe a possibilidade de uma transformação injetora.

Passo 5

Para provar que tal transformação existe, vamos construir um exemplo concreto. Podemos definir T através de uma matriz A de tamanho 4 times 3 com posto 3. Por exemplo:
A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0

Passo 6

Essa matriz A tem posto 3, pois há 3 colunas linearmente independentes. Portanto, a transformação linear T associada a essa matriz é injetora, pois apenas o vetor nulo é mapeado para o vetor nulo em R^4 .

Resposta

A afirmação é Verdadeira. Uma transformação linear T: R^3 R^4 pode ser injetora, conforme demonstrado pelo exemplo construído.

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