Considere uma transformação linear T: R^3 R^3, satisfazendo T(2,0,1)=raiz[23]2(-2,0,-1), T(1,1,0)=(1,1,0), T(1,0,0)=(-1,0,0) e seja C=(2,0,1),(1,1,0),(1,0,0)
(a) Determine T(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear T: R^3 R^3 . A gente precisa descobrir como essa transformação age em qualquer vetor (x, y, z) . Para isso, vamos usar os vetores da base C = (2,0,1), (1,1,0), (1,0,0) e as informações dadas sobre T nesses vetores. Vai precisar entender como função linear combina vetores e como aplicar isso pra achar T(x, y, z) .

Passo 2

Primeiro, como T é uma transformação linear, podemos escrever qualquer vetor (x, y, z) como combinação linear dos vetores da base C . Ou seja, queremos encontrar coeficientes a, b, c tais que:
(x, y, z) = a(2, 0, 1) + b(1, 1, 0) + c(1, 0, 0)
Vamos montar um sistema de equações para achar a, b, c :
2a + b + c = x 0a + b + 0c = y a + 0b + 0c = z

Passo 3

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação: a = z
  2. Da segunda equação: b = y
  3. Da primeira equação: 2z + y + c = x c = x - 2z - y
Então, temos:
(x, y, z) = z(2,0,1) + y(1,1,0) + (x - 2z - y)(1,0,0)

Passo 4

Agora aplicamos a transformação T nessa combinação linear. Sabendo que T é linear, temos:
T(x, y, z) = z cdot T(2,0,1) + y cdot T(1,1,0) + (x - 2z - y) cdot T(1,0,0)
Substituindo os valores dados:
T(2,0,1) = raiz[23]2(-2,0,-1), T(1,1,0) = (1,1,0), T(1,0,0) = (-1,0,0)
Então:
T(x, y, z) = z cdot raiz[23]2(-2,0,-1) + y cdot (1,1,0) + (x - 2z - y) cdot (-1,0,0)

Passo 5

Vamos distribuir os termos:
T(x, y, z) = (-2z cdot raiz[23]2,, 0,, -z cdot raiz[23]2) + (y, y, 0) + (-x + 2z + y,, 0,, 0)
Agora, somamos as componentes correspondentes:
  • Componente x: -2z cdot raiz[23]2 + y - x + 2z + y = -x + 2y + 2z(1 - raiz[23]2)
  • Componente y: 0 + y + 0 = y
  • Componente z: -z cdot raiz[23]2 + 0 + 0 = -z cdot raiz[23]2

Resposta

Assim, a transformação linear T(x, y, z) é dada por:
T(x, y, z) = ( -x + 2y + 2z(1 - raiz[23]2, ;; y, ;; -z cdot raiz[23]2 ) )
Ou, de forma mais clara por componentes:
T(x, y, z) = ( -x + 2y + 2z(1 - raiz[23]2),; y,; -z cdot raiz[23]2 )

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