Seja A=[ccc3 & 0 & 2 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0].
(b) A matriz A é diagonalizável? Se sim, escreva A como A=P D P^-1 onde D é diagonal e P é invertível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre diagonalização de matrizes! O enunciado nos dá uma matriz A e pergunta se ela é diagonalizável. Se for, precisamos escrever A na forma A = P D P^-1 , onde D é uma matriz diagonal e P é invertível. Para isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, que são fundamentais para a diagonalização.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A . Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A , e lambda representa os autovalores que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I :
A - lambda I = 3 - lambda & 0 & 2 0 & 1 - lambda & 0 -1 & 0 & -lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (3 - lambda) cdot (1 - lambda) cdot (-lambda) - 0 + 2 cdot 0 cdot (-1) = 0
Simplificando, temos:
(3 - lambda)(1 - lambda)(-lambda) = 0
Portanto, os autovalores são lambda = 0 , lambda = 1 e lambda = 3 .

Passo 4

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada lambda .
Para lambda = 0 :
Resolvemos (A - 0I)v = Av = 0 .
3 & 0 & 2 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0
Resolvendo, encontramos que v2 = 0 e 3v1 + 2v3 = 0 , -v1 = 0 . Portanto, v1 = 0 e v3 é livre. Um autovetor pode ser v1 = 0 0 1 .
Para lambda = 1 :
Resolvemos (A - I)v = 0 .
2 & 0 & 2 0 & 0 & 0 -1 & 0 & -1 v1 v2 v3 = 0 0 0
Isso dá 2v1 + 2v3 = 0 e -v1 - v3 = 0 , que levam a v1 = -v3 . v2 é livre. Um autovetor pode ser v2 = 1 0 -1 .
Para lambda = 3 :
Resolvemos (A - 3I)v = 0 .
0 & 0 & 2 0 & -2 & 0 -1 & 0 & -3 v1 v2 v3 = 0 0 0
Isso dá 2v3 = 0 e -v1 - 3v3 = 0 , o que leva a v3 = 0 e v1 = 0 . v2 é livre. Um autovetor pode ser v3 = 0 1 0 .

Passo 5

Agora que temos os autovalores e autovetores, vamos montar as matrizes P e D :
P = v1 & v2 & v3 = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & -1 & 0
D = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3

Passo 6

Para garantir que A é diagonalizável, precisamos verificar se a matriz P é invertível. Calculando o determinante de P :
det(P) = 0(0 cdot 0 - 1 cdot (-1)) - 1(0 cdot 0 - 1 cdot 1) + 0(0 cdot (-1) - 0 cdot 1) = 0 + 1 + 0 = 1 neq 0
Como o determinante de P é diferente de zero, P é invertível. Portanto, A é diagonalizável.

Resposta

Sim, a matriz A é diagonalizável. Ela pode ser escrita como:
A = P D P^-1
onde
P = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & -1 & 0 e D = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3

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