Considere a transformacão linear T: \mathbb{R}^{4} \longrightarrow \mathbb{R}^{4}, dada por T(x, y, z, t)=(x+y+2 z+4 t, x-y-4 z+2 t,-y-3 z+t, 2 x+y+z+5 t)
a) ( 1,5 \mathrm{pt} ) Determine e encontre uma base para \operatorname{ker} T.
b) (1,5 pt) Determine e encontre uma base para \operatorname{Im} T.

Passo 1

O enunciado pede para uma transformação linear
\displaystyle T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 dada por
T(x,y,z,t)=\bigl(x+y+2z+4t,\;x-y-4z+2t,\;-y-3z+t,\;2x+y+z+5t\bigr)
encontrar \ker T e \Im T. Vamos precisar montar a matriz de T, resolver um sistema homogêneo para o núcleo e usar o posto para a imagem.

Passo 2

A matriz de T em relação à base canônica é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 4\\\\ 1 & -1 & -4 & 2\\\\ 0 & -1 & -3 & 1\\\\ 2 & 1 & 1 & 5 \end{pmatrix}.
Para achar \ker T resolvemos A(x,y,z,t)^T=0.

Passo 3

Fazendo eliminação de Gauss em
\bigl[A\mid 0\bigr]\) obtemos o sistema em forma escalonada reduzida: \[\begin{cases} x + y + 2z = 0,\\\ \quad y + 3z = 0,\\\ \quad\quad t = 0, \end{cases}
com (z] livre. Logo
y=-3z,\quad x=z,\quad t=0.

Passo 4

Escrevendo (x,y,z,t)=z\,(1,-3,1,0), concluímos que
\ker T=\{\,z(1,-3,1,0)\mid z\in\mathbb{R}\}
é de dimensão 1, e uma base é
\{(1,-3,1,0)\}.

Passo 5

Pelo teorema da dimensão (dimensão do núcleo + posto =4), o posto de A é 3. Assim
\dim\Im T=3.
Uma base de \Im T pode ser obtida pelas colunas-pivô de A, que são as colunas 1, 2 e 4:
\Im T=\Span\bigl\{\,(1,1,0,2),\;(1,-1,-1,1),\;(4,2,1,5)\bigr\}.

Resposta

a) \ker T=\Span\{(1,-3,1,0)\}.
b) \Im T=\Span\{(1,1,0,2),\,(1,-1,-1,1),\,(4,2,1,5)\}.

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