Considere a transformacão linear T: \mathbb{R}^{4} \longrightarrow \mathbb{R}^{4}, dada por T(x, y, z, t)=(x+y+2 z+4 t, x-y-4 z+2 t,-y-3 z+t, 2 x+y+z+5 t)
a) ( 1,5 \mathrm{pt} ) Determine e encontre uma base para \operatorname{ker} T.
b) (1,5 pt) Determine e encontre uma base para \operatorname{Im} T.
Passo 1
O enunciado pede para uma transformação linear \displaystyle T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 dada por
\bigl[A\mid 0\bigr]\) obtemos o sistema em forma escalonada reduzida:
\[\begin{cases} x + y + 2z = 0,\\\ \quad y + 3z = 0,\\\ \quad\quad t = 0, \end{cases}
com (z] livre. Logo y=-3z,\quad x=z,\quad t=0.
Passo 4
Escrevendo (x,y,z,t)=z\,(1,-3,1,0), concluímos que
\ker T=\{\,z(1,-3,1,0)\mid z\in\mathbb{R}\}
é de dimensão 1, e uma base é
\{(1,-3,1,0)\}.
Passo 5
Pelo teorema da dimensão (dimensão do núcleo + posto =4), o posto de A é 3. Assim
\dim\Im T=3.
Uma base de \Im T pode ser obtida pelas colunas-pivô de A, que são as colunas 1, 2 e 4: