Questão 2. (Valor 2,0) Considere a transformação linear tal que T(1,-1,-1)=(1,0) ; T(0,1,-2)=(0,1) T(-2,-1,-1)=(1,1). Determine T(x, y, z).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 sabendo-se
T(1,-1,-1)=(1,0),\quad T(0,1,-2)=(0,1),\quad T(-2,-1,-1)=(1,1).
Queremos achar a fórmula geral de
T(x,y,z)=(T_1(x,y,z),\,T_2(x,y,z))
como combinação linear de x,y,z.

Passo 2

Seja
T(x,y,z)=\bigl(a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z,\;a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z\bigr).
Aplicando isso aos vetores dados, obtemos seis equações:
Para (1,-1,-1)\mapsto(1,0)\) \[\begin{cases} a_{11}-a_{12}-a_{13}=1,\\\ a_{21}-a_{22}-a_{23}=0, \end{cases}
para (0,1,-2)\mapsto(0,1)\] \[\begin{cases} a_{12}-2a_{13}=0,\\\ a_{22}-2a_{23}=1, \end{cases}\] e para \((-2,-1,-1)\mapsto(1,1)
\begin{cases} -2a_{11}-a_{12}-a_{13}=1,\\\\ -2a_{21}-a_{22}-a_{23}=1. \end{cases}

Passo 3

Resolver primeiro o sistema para a_{11},a_{12},a_{13}\): \[\begin{cases} a_{11}-a_{12}-a_{13}=1,\\\ a_{12}-2a_{13}=0,\\\\ -2a_{11}-a_{12}-a_{13}=1. \end{cases}
Da segunda equação vem (a_{12}=2a_{13}]. Substituindo na primeira dá
a_{11}-3a_{13}=1\implies a_{11}=1+3a_{13}.
Na terceira,
-2(1+3a_{13})-2a_{13}-a_{13}=1\implies -2-9a_{13}=1\implies a_{13}=-\tfrac13.
Logo
a_{13}=-\tfrac13,\quad a_{12}=2\bigl(-\tfrac13\bigr)=-\tfrac23,\quad a_{11}=1+3\bigl(-\tfrac13\bigr)=0.

Passo 4

Agora o sistema para a_{21},a_{22},a_{23}\): \[\begin{cases} a_{21}-a_{22}-a_{23}=0,\\\ a_{22}-2a_{23}=1,\\\\ -2a_{21}-a_{22}-a_{23}=1. \end{cases}
Da segunda vem a_{22}=1+2a_{23}\]. Na primeira, \(a_{21}=a_{22}+a_{23}=1+3a_{23}. Substituindo tudo na terceira:
-2(1+3a_{23})-(1+2a_{23})-a_{23}=1 \implies -3-9a_{23}=1\implies a_{23}=-\tfrac49.
Então
a_{23}=-\tfrac49,\quad a_{22}=1+2\bigl(-\tfrac49\bigr)=\tfrac19,\quad a_{21}=1+3\bigl(-\tfrac49\bigr)=-\tfrac13.

Passo 5

Juntando tudo, a matriz de T é
\begin{pmatrix} 0 & -\tfrac23 & -\tfrac13\\\\ -\tfrac13 & \tfrac19 & -\tfrac49 \end{pmatrix}
e portanto
T(x,y,z)=\Bigl(-\tfrac{2y+z}{3}\;,\;\tfrac{-3x+y-4z}{9}\Bigr).

Resposta

T(x,y,z)=\Bigl(-\tfrac{2y+z}{3},\;-\tfrac{3x-y+4z}{9}\Bigr).

Exercícios relacionados