a) ( 1,5 \mathrm{pt} ) Determine as condições sobre k de modo que W seja um subespaço vetorial de dimensão 3.
b) (1,0 pt) Determine uma base para W de acordo com os valores de k encontrados no ítem anterior.
Queremos as condições em k para \dim W=3 e, nesses casos, uma base de W. Vamos vetorializar cada A_i em \mathbb R^4 pela correspondência \displaystyle A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\mapsto (a,b,c,d),
e estudar o posto da coleção de vetores em \mathbb R^4.
Verifica\‐se por redução de linhas (ou calculando um menor 3\times3 não nulo) que, em cada um desses valores, o posto cai exatamente para 3 (e não para 2). Logo
\boxed{k=0,\;-1,\text{ ou }-\tfrac{1}{2}.}
Passo 4
Nos casos k\in\{0,-1,-\tfrac12\}, a análise de pivôs mostra que as três primeiras colunas de A permanecem independentes. Em termos de matrizes, isso significa que \{A_1,A_2,A_3\} é uma base de W.
Resposta
a) k\in\bigl\{0,\,-1,\,-\tfrac12\bigr\}.
b) Para cada um desses valores de k, uma base de W é