Seja W \subset M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) o seguinte subespaço vetorial
S=\left\langle\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} k & 1 \\\ k & -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} -1 & 2 \\\\ 2 k & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 1 & -k \end{array}\right]\right\rangle .
a) ( 1,5 \mathrm{pt} ) Determine as condições sobre k de modo que W seja um subespaço vetorial de dimensão 3.
b) (1,0 pt) Determine uma base para W de acordo com os valores de k encontrados no ítem anterior.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
W=\bigl\langle A_1,A_2,A_3,A_4\bigr\rangle\subset M_{2\times2}(\mathbb R),
onde
A_1=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix},\quad A_2=\begin{pmatrix}k&1\k&-1\end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix}-1&2\\\ 2k&1\end{pmatrix},\quad A_4=\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&-k\end{pmatrix}.
Queremos as condições em k para \dim W=3 e, nesses casos, uma base de W. Vamos vetorializar cada A_i em \mathbb R^4 pela correspondência
\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\mapsto (a,b,c,d),
e estudar o posto da coleção de vetores em \mathbb R^4.

Passo 2

Vectorizando, definimos
v_1=(1,1,1,1),\; v_2=(k,1,k,-1),\; v_3=(-1,2,2k,1),\; v_4=(1,2,1,-k).
Formamos a matriz 4\times4 cujas colunas são esses vetores:
A=\begin{pmatrix} 1 & k & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 2 & 2\\\\ 1 & k & 2k & 1\\\\ 1 & -1 & 1 & -k \end{pmatrix}.
Fazendo operações de linha para triangularizar e calcular \det(A), chega\‐se ao resultado
\det(A)=k\,(k+1)\,(2k+1).

Passo 3

Para \dim W=3 precisamos posto (A)=3, ou seja \det(A)=0 mas não posto \le2. Da condição \det(A)=0 vem
k\,(k+1)\,(2k+1)=0 \;\Longrightarrow\; k\in\{0,\,-1,\,-\tfrac{1}{2}\}.
Verifica\‐se por redução de linhas (ou calculando um menor 3\times3 não nulo) que, em cada um desses valores, o posto cai exatamente para 3 (e não para 2). Logo
\boxed{k=0,\;-1,\text{ ou }-\tfrac{1}{2}.}

Passo 4

Nos casos k\in\{0,-1,-\tfrac12\}, a análise de pivôs mostra que as três primeiras colunas de A permanecem independentes. Em termos de matrizes, isso significa que
\{A_1,A_2,A_3\} é uma base de W.

Resposta

a) k\in\bigl\{0,\,-1,\,-\tfrac12\bigr\}.
b) Para cada um desses valores de k, uma base de W é
\Bigl\{ \begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}k&1\k&-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1&2\\\ 2k&1\end{pmatrix} \Bigr\}.

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