Questão 1. (Valor 3,0) Sendo A: R^{3} \rightarrow R^{3} uma transformação linear representado pela matriz A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\\\ 4 & -2 & 6 \\\\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]
a) Determine uma base de N(T) e dimensão.
b) Determine, se existir, o vetor cuja imagem é \mathrm{w}=(5,10,-2)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 representada pela matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3\\\\ 4 & -2 & 6\\\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pede:
(a) uma base e a dimensão de N(T)=\{x\in\mathbb{R}^3:Ax=0\},
(b) um vetor x tal que Ax=w com w=(5,10,-2), se existir.
Para resolver, vamos usar eliminação de Gauss para o sistema homogêneo e para o sistema não homogêneo.

Passo 2

Encontramos N(T)\) resolvendo \(Ax=0\). Seja \(x=(x_1,x_2,x_3)\). O sistema é \[\begin{cases} 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 0,\\\\ 4x_1 - 2x_2 + 6x_3 = 0,\\\\ -\,x_1 \;+\;0\cdot x_2 + x_3 = 0. \end{cases}
Aplicando eliminação:
1\]. A segunda equação é o dobro da primeira, logo traz zero após subtração. \(2. Da terceira equação temos -x_1 + x_3=0, ou seja x_3 = x_1.
3. Substituindo em 2x_1 - x_2 + 3x_3=0 2x_1 - x_2 + 3x_1=0, isto é 5x_1 - x_2=0, então x_2=5x_1.

Passo 3

Da análise do passo anterior, todo vetor do núcleo é
(x_1,x_2,x_3) = (t,5t,t) = t\,(1,5,1),\quad t\in\mathbb{R}.
Portanto uma base de N(T) é \{(1,5,1)\} e
\dim N(T)=1.

Passo 4

Para achar x\) tal que \(Ax=w\) com \(w=(5,10,-2)\), resolvemos \[\begin{cases} 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 5,\\\\ 4x_1 - 2x_2 + 6x_3 = 10,\\\\ -\,x_1 + x_3 = -2. \end{cases}
Observa-se que a segunda é 2\times\] (a primeira), logo desprezamos a segunda. Da terceira: \[-\,x_1 + x_3 = -2\quad\Longrightarrow\quad x_3 = x_1 -2.\] Substituindo em \(2x_1 - x_2 + 3x_3=5 obtém-se
2x_1 - x_2 +3(x_1-2)=5 \quad\Longrightarrow\quad 5x_1 - x_2 =11 \quad\Longrightarrow\quad x_2 = 5x_1 -11.

Passo 5

O sistema tem sempre solução, pois não surgiu contradição. A solução geral é
x = \bigl(x_1,\;5x_1-11,\;x_1-2\bigr),\quad x_1\in\mathbb{R}.
Por exemplo, tomando x_1=0 obtemos a solução particular
x = (0,\,-11,\,-2).

Resposta

a) Base de N(T): \{(1,5,1)\}. Dimensão: \dim N(T)=1.
b) Uma solução de Ax=(5,10,-2) é x=(0,-11,-2) (e, de modo geral, x=(s,5s-11,s-2)).

Exercícios relacionados