é uma base para \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
b) (1,0 pt) Dado p(t)=a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}+a_{3} t^{3} \in \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}), determine [p(t)]_{\beta}, isto é, a matriz das coordenadas de p(t) em relação à base \beta.
c) (1,0 pt) Determine a única transformação linear T: \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}^{4}, tal que:
Precisamos (a) verificar que \beta é base, (b) expressar um polinômio genérico \displaystyle p(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3} em coordenadas na base \beta e (c) determinar a única transformação linear T\colon\mathcal P_{3}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{4} que atribui a cada vetor de \beta uma imagem dada.
Passo 2
Para mostrar que \beta é base basta provar que é LI (têm 4 vetores num espaço de dimensão 4). Suponha
cuja única solução é \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=\alpha_{4}=0. Logo \beta é LI e, por ter 4 vetores, forma uma base de \mathcal P_{3}(\mathbb{R}).
Passo 3
Queremos [p]_{\beta} = (c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}) tal que