Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, definida por T(x, y)=(3 x+2 y, 2 x+y).
a) ( 1,0 ponto) Mostre que T é um isomorfismo.
b) ( 1,0 ponto) Determine T^{-1}(x, y).
e pede:
a) mostrar que T é um isomorfismo;
b) determinar a sua inversa T^{-1}.
Vamos usar representação matricial, determinante para bijeção e fórmula da inversa de matriz 2\times2.
Passo 2
Escrevemos a matriz associada a T na base canônica:
A = \begin{pmatrix} 3 & 2\\\\ 2 & 1 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante:
\det(A) = 3\cdot1 - 2\cdot2 = 3 - 4 = -1.
Passo 3
Como \det(A) = -1 \neq 0, a matriz A é invertível. Num espaço de dimensão finita, isso implica que T é bijetora e linear, logo é um isomorfismo.
Passo 4
Para encontrar T^{-1}, usamos a fórmula da inversa de matriz 2\times2: