Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, definida por T(x, y)=(3 x+2 y, 2 x+y).
a) ( 1,0 ponto) Mostre que T é um isomorfismo.
b) ( 1,0 ponto) Determine T^{-1}(x, y).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y) = (3x + 2y,\;2x + y),
e pede:
a) mostrar que T é um isomorfismo;
b) determinar a sua inversa T^{-1}.
Vamos usar representação matricial, determinante para bijeção e fórmula da inversa de matriz 2\times2.

Passo 2

Escrevemos a matriz associada a T na base canônica:
A = \begin{pmatrix} 3 & 2\\\\ 2 & 1 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante:
\det(A) = 3\cdot1 - 2\cdot2 = 3 - 4 = -1.

Passo 3

Como \det(A) = -1 \neq 0, a matriz A é invertível. Num espaço de dimensão finita, isso implica que T é bijetora e linear, logo é um isomorfismo.

Passo 4

Para encontrar T^{-1}, usamos a fórmula da inversa de matriz 2\times2:
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2\\\\ 2 & -3 \end{pmatrix}.

Passo 5

A ação de T^{-1} em um vetor (x,y) é dada por
T^{-1}(x,y) = \bigl(-1\;\;2;\;2\;\;-3\bigr) \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} \,=\, \bigl(-x + 2y,\;2x - 3y\bigr).

Resposta

a) T é isomorfismo porque \det(A)=-1\neq0.
b) \displaystyle T^{-1}(x,y)=(-x+2y,\;2x-3y).

Exercícios relacionados