Considere as transformações lineares T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow M_{2}(\mathbb{R}) e S: M_{2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}^{2} dadas por
\begin{gathered} T(1,0,1)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right), T(0,1,1)=\left(\begin{array}{ll} 0 & 2 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right), T(0,0,1)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right) \mathrm{e} \\\ {[S]_{\gamma}^{\beta}=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 3 & 0 & 0 \\\\ -1 & -3 & 1 & 4 \end{array}\right)} \end{gathered}
onde \alpha=\{(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1)\} (base do \mathbb{R}^{3} ), \beta é a base canônica do M_{2}(\mathbb{R}) e \gamma=\{(1,1),(1,2)\} (base do \mathbb{R}^{2} ).
a) ( 2,0 pontos) Determine as dimensões do núcleo e da imagem de T.
b) (1,5 ponto) Determine S\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá T\colon\mathbb{R}^3\to M_2(\mathbb{R}) definida em relação à base \alpha=\{(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1)\} por
T(1,0,1)=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix},\quad T(0,1,1)=\begin{pmatrix}0&2\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad T(0,0,1)=\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&-1\end{pmatrix},
e pede \dim\ker T e \dim\Im T. Em seguida, para
\;S\colon M_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^2 tem-se a matriz de S na base canônica \beta de M_2(\mathbb{R}) e na base \gamma=\{(1,1),(1,2)\} de \mathbb{R}^2:
[S]_{\gamma}^{\beta} =\begin{pmatrix}2&3&0&0\\\ -1&-3&1&4\end{pmatrix}.
Quer-se S\bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\bigr).

Passo 2

Escrevemos as imagens de T como vetores em \mathbb{R}^4 usando a base canônica
\beta=\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}. Assim:
v_1=T(1,0,1)\mapsto\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix},\quad v_2=T(0,1,1)\mapsto\begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_3=T(0,0,1)\mapsto\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 3

Verificamos dependência linear:
\;v_1+v_2=(1,0,0,-1)+(0,2,0,0)=(1,2,0,-1)=v_3.
Logo \{v_1,v_2,v_3\} tem posto \rank T=2.

Passo 4

Pelo Teorema da Dimensão,
\dim\ker T=\dim\mathbb{R}^3-\rank T=3-2=1,\quad \dim\Im T=2.

Passo 5

Para X=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} suas coordenadas em \beta são \bigl(a,b,c,d\bigr)^{T}. Aplicando a matriz de S:
\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&3&0&0\\\ -1&-3&1&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\b\c\d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2a+3b\\\ -a-3b+c+4d\end{pmatrix}.

Passo 6

Como \gamma=\{(1,1),(1,2)\}, se [S(X)]_{\gamma}=(x,y) então
S(X)=x\,(1,1)+y\,(1,2)=(x+y,\;x+2y).
Substituindo x=2a+3b e y=-a-3b+c+4d obtemos
S\Bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\Bigr) =(\,a+c+4d,\;-3b+2c+8d\,).

Resposta

\dim\ker T=1,\;\dim\Im T=2
S\Bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\Bigr) =(\,a+c+4d,\;-3b+2c+8d\,).

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