Considere as transformações lineares T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow M_{2}(\mathbb{R}) e S: M_{2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}^{2} dadas por
onde \alpha=\{(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1)\} (base do \mathbb{R}^{3} ), \beta é a base canônica do M_{2}(\mathbb{R}) e \gamma=\{(1,1),(1,2)\} (base do \mathbb{R}^{2} ).
a) ( 2,0 pontos) Determine as dimensões do núcleo e da imagem de T.
b) (1,5 ponto) Determine S\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado dá T\colon\mathbb{R}^3\to M_2(\mathbb{R}) definida em relação à base \alpha=\{(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1)\} por
e pede \dim\ker T e \dim\Im T. Em seguida, para \;S\colon M_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^2 tem-se a matriz de S na base canônica \beta de M_2(\mathbb{R}) e na base \gamma=\{(1,1),(1,2)\} de \mathbb{R}^2: