(0,5 ponto ) \left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\\\ 0 & x & 4 \\\\ 1 & 4 & 3\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right). Para a matriz dada, atribua um valor para x de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear de coeficientes dada pela matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1\\\\ 0 & x & 4\\\\ 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}
e pede escolher um valor de x tal que o sistema não tenha solução única, ou seja, tenha “ 0 ou infinitas soluções” dependendo do vetor \boldsymbol b. Para isso precisamos que a matriz seja singular, isto é,
\det(A)=0.

Passo 2

Vamos calcular \det(A) por desenvolvimento na primeira linha:
\det(A) =3\cdot\det\begin{pmatrix}x&4\\\ 4&3\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}0&4\\\ 1&3\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}0&x\\\ 1&4\end{pmatrix}.
Agora cada determinante de 2\times2:
\det\begin{pmatrix}x&4\\\ 4&3\end{pmatrix} =3x-16,\quad \det\begin{pmatrix}0&4\\\ 1&3\end{pmatrix} =0\cdot3-4\cdot1=-4,\quad \det\begin{pmatrix}0&x\\\ 1&4\end{pmatrix} =0\cdot4-x\cdot1=-x.
Logo,
\det(A) =3(3x-16)-2(-4)+(-x) =9x-48+8-x =8x-40.

Passo 3

Para que o sistema seja singular, impomos
8x-40=0 \quad\Longrightarrow\quad x=5.
Com x=5, temos \det(A)=0, então o sistema poderá ter ou nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo do vetor \boldsymbol b.

Resposta

x=5

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