Encontre uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} cujo núcleo seja gerado pelo vetor (0,1,2).

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar uma transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4} tal que o núcleo (ou núcleo/ker) de T seja exatamente o subespaço gerado pelo vetor (0,1,2).
Informações dadas:
  • O vetor que gera o núcleo é (0,1,2).
  • O domínio é \mathbb{R}^{3} e a imagem está em \mathbb{R}^{4}.
  • Não há outras restrições; qualquer transformação linear com esse núcleo vale.

Passo 2

O que é exigir que o núcleo seja \mathrm{span}\{(0,1,2)\}: por definição, o núcleo de T é o conjunto
\ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^3 \mid T(v)=0\}.
Dizer que \ker(T)=\mathrm{span}\{(0,1,2)\} significa que
  1. todo múltiplo de (0,1,2) é enviado em 0 por T; e
  2. não existe nenhum outro vetor (independente de (0,1,2)) que seja enviado em 0.
Também é útil lembrar o teorema posto: dimensão do domínio é 3, se \dim\ker(T)=1 então \mathrm{rank}(T)=2 (teorema da dimensão / rank-nullity). Então procuraremos uma T de posto 2.

Passo 3

Estratégia construtiva (passo a passo, simples): vamos definir T especificando o efeito sobre a base canônica \{e_1,e_2,e_3\} de \mathbb{R}^3, onde
e_1=(1,0,0),\quad e_2=(0,1,0),\quad e_3=(0,0,1).
Queremos que T(0,1,2)=0. Note que (0,1,2)=0\cdot e_1 + 1\cdot e_2 + 2\cdot e_3, portanto a condição é
T(e_2) + 2\,T(e_3) = 0.
Ou seja, ao escolher T(e_2) e T(e_3) eles devem obedecer essa relação linear.
Além disso, para ter posto 2 podemos escolher T(e_1) e T(e_3) de forma a serem linearmente independentes em \mathbb{R}^4. Uma escolha muito simples é mandar T(e_1) para o primeiro vetor da base canônica de \mathbb{R}^4 e mandar T(e_3) para o segundo vetor da base canônica. Depois definimos T(e_2) usando a relação acima.

Passo 4

Faça escolhas concretas (escolhas simples e didáticas):
  • Defina T(e_1) = (1,0,0,0).
  • Defina T(e_3) = (0,1,0,0).
    Então para garantir T(0,1,2)=0 precisamos de
T(e_2) + 2\,T(e_3) = 0 \quad\Longrightarrow\quad T(e_2) = -2\,T(e_3) = -2\,(0,1,0,0) = (0,-2,0,0).
Agora temos T completamente definida na base canônica, portanto T está bem definida linearmente por extensão.

Passo 5

Escrever T em forma matricial e como fórmula direta. As colunas da matriz A de T (matriz 4\times 3) são T(e_1),T(e_2),T(e_3). Assim
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Logo, para x=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 temos
T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\[4pt] -2y+z\\[4pt] 0\\[4pt] 0 \end{pmatrix}.
Essa é uma forma bem prática de usar na prova: escreva T(x,y,z)=(x,\,-2y+z,\,0,\,0).]

Passo 6

Verificação direta de que o núcleo é [\mathrm{span}{(0,1,2)}).
Resolver T(x,y,z)=0 dá o sistema (das componentes):
\begin{cases} x = 0,\\[4pt] -2y + z = 0,\\[4pt] 0 = 0,\\[4pt] 0 = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x=0\]. Da segunda vem \(z=2y. Portanto todo vetor no núcleo tem a forma
(x,y,z)=(0,y,2y)=y\,(0,1,2).
Isso mostra que \ker(T)=\mathrm{span}\{(0,1,2)\}. Não há outros vetores no núcleo além desses múltiplos, então a igualdade está verificada.]

Passo 7

Checagem rápida do posto: as colunas de A são
(1,0,0,0),\quad (0,-2,0,0),\quad (0,1,0,0).
Duas delas (a primeira e a segunda) são linearmente independentes, então \mathrm{rank}(A)=2, consistente com \dim\ker(T)=1 pelo teorema da dimensão.

Resposta

T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4,\qquad T(x,y,z)=(x,\,-2y+z,\,0,\,0).

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