Encontre uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} cujo núcleo seja gerado pelo vetor (0,1,2).
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar uma transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4} tal que o núcleo (ou núcleo/ker) de T seja exatamente o subespaço gerado pelo vetor (0,1,2).
Informações dadas:
O vetor que gera o núcleo é (0,1,2).
O domínio é \mathbb{R}^{3} e a imagem está em \mathbb{R}^{4}.
Não há outras restrições; qualquer transformação linear com esse núcleo vale.
Passo 2
O que é exigir que o núcleo seja \mathrm{span}\{(0,1,2)\}: por definição, o núcleo de T é o conjunto
\ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^3 \mid T(v)=0\}.
Dizer que \ker(T)=\mathrm{span}\{(0,1,2)\} significa que
todo múltiplo de (0,1,2) é enviado em 0 por T; e
não existe nenhum outro vetor (independente de (0,1,2)) que seja enviado em 0.
Também é útil lembrar o teorema posto: dimensão do domínio é 3, se \dim\ker(T)=1 então \mathrm{rank}(T)=2 (teorema da dimensão / rank-nullity). Então procuraremos uma T de posto 2.
Passo 3
Estratégia construtiva (passo a passo, simples): vamos definir T especificando o efeito sobre a base canônica \{e_1,e_2,e_3\} de \mathbb{R}^3, onde
e_1=(1,0,0),\quad e_2=(0,1,0),\quad e_3=(0,0,1).
Queremos que T(0,1,2)=0. Note que (0,1,2)=0\cdot e_1 + 1\cdot e_2 + 2\cdot e_3, portanto a condição é
T(e_2) + 2\,T(e_3) = 0.
Ou seja, ao escolher T(e_2) e T(e_3) eles devem obedecer essa relação linear.
Além disso, para ter posto 2 podemos escolher T(e_1) e T(e_3) de forma a serem linearmente independentes em \mathbb{R}^4. Uma escolha muito simples é mandar T(e_1) para o primeiro vetor da base canônica de \mathbb{R}^4 e mandar T(e_3) para o segundo vetor da base canônica. Depois definimos T(e_2) usando a relação acima.
Passo 4
Faça escolhas concretas (escolhas simples e didáticas):
Defina T(e_1) = (1,0,0,0).
Defina T(e_3) = (0,1,0,0).
Então para garantir T(0,1,2)=0 precisamos de