Dada a aplicaçāo
(a)
Mostre que
é um operador linear.
(b)
Determine o núcleo e a imagem de
, ou seja,
. Na sequéncia, calcule
e posto(T).
(c)
Encontre o(s) autovalor(es) e o(s) respectivo(s) autovetor(es) de
. Na sequencia, determine a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica de cada um dos autovalores.
(d) (1,0) Responda e justifique: O Operador linear T é diagonalizável? Caso positivo, determine uma’
(b)
(c)
(d) (1,0) Responda e justifique: O Operador linear T é diagonalizável? Caso positivo, determine uma’
Passo 1
O enunciado dá a aplicação linear
e pede, em partes:
(a) Mostrar que é linear.
(b) Determinar e
e calcular
e
.
(c) Encontrar autovalores e autovetores de . Para cada autovalor, determinar multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica.
(d) Dizer se é diagonalizável; se for, fornecer uma base de autovetores (ou a diagonalização).
(a) Mostrar que
(b) Determinar
(c) Encontrar autovalores e autovetores de
(d) Dizer se
As informações úteis fornecidas diretamente no enunciado são a fórmula de
em coordenadas (isto é tudo o que precisamos inicialmente).
Passo 2
Definição e verificação da linearidade (parte (a)).
Uma aplicação é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem
Uma aplicação
Vamos checar isso componente a componente. Tome
e
. Então
Aplicando
,
Agora calcule
:
logo
Essas duas expressões são idênticas, então a propriedade aditiva vale. Para homogeneidade, tome
:
Portanto
satisfaz as duas propriedades e é linear. (Resposta da parte (a):
é linear.)
Passo 3
Matriz de
na base canônica e interpretação.
Para trabalhar com núcleo, imagem e autovalores é útil escrever como matriz relativa à base canônica
. Calculemos as imagens das bases:
Para trabalhar com núcleo, imagem e autovalores é útil escrever
Colocando estas como colunas, a matriz de
(chame-a de
) é
Isso significa que, para
escrito como vetor coluna,
. A coluna 1 é
e a coluna 2 é
.]
Passo 4
Cálculo do núcleo
e
(parte (b)).
Por definição, . Escrevendo
e usando a fórmula dada,
Por definição,
Queremos resolver o sistema
Da primeira equação segue
. Substituindo na segunda,
dá
. Portanto a única solução é
. Assim
A dimensão do núcleo, isto é,
, é
(apenas o vetor nulo).
Vou comentar de forma didática: o núcleo sendo só o vetor nulo significa que
é injetora (nenhum vetor não-nulo vai para zero).
Passo 5
Cálculo da imagem
e do posto
(continuação da parte (b)).
A imagem de é o subespaço gerado pelas colunas de
, isto é
A imagem de
Para saber se essas colunas geram todo
verificamos se são linearmente independentes. Uma forma rápida é calcular o determinante da matriz
:
Como
, as colunas são linearmente independentes e formam uma base de
. Portanto
e a dimensão da imagem (o posto) é
Verificação pela fórmula posto-nulidade (teorema do núcleo e imagem):
, coerente.
Passo 6
Encontrar autovalores: cálculo do polinômio característico (parte (c)).
Autovalores satisfazem
. Calculemos:
Autovalores
O determinante é
Resolvendo
, usamos a fórmula quadrática ou fatoramos:
Logo os autovalores são
Cada raiz aparece uma vez no polinômio característico, então a multiplicidade algébrica de cada autovalor é
.]
Passo 7
Encontrar autovetores associados a
e calcular a multiplicidade geométrica (parte (c) continua).
Para resolvemos
. Compute
Para
O sistema correspondente para
é
ambas as equações equivalem a
. Portanto os autovetores associados a
são todos os múltiplos de
. Em notação de subespaço:
A dimensão desse espaço próprio (multiplicidade geométrica de
) é
.]
Passo 8
Encontrar autovetores associados a
e calcular a multiplicidade geométrica.
Para resolvemos
. Compute
Para
O sistema é
ou seja
. Assim os autovetores são os múltiplos de
:
A multiplicidade geométrica de
é
.
Resumo didático sobre multiplicidades: a multiplicidade algébrica conta quantas vezes o autovalor aparece no polinômio característico; a geométrica é a dimensão do espaço próprio. Aqui ambas as multiplicidades coincidem (1 para cada autovalor).]
Passo 9
Diagonalizabilidade (parte (d)).
Um operador linear em espaço de dimensão é diagonalizável se existe uma base do espaço formada por autovetores. No caso de
, ter dois autovalores distintos já garante que exista uma base formada por autovetores (os autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes). Encontramos dois autovetores linearmente independentes:
Um operador linear em espaço de dimensão
Assim
é uma base de
formada por autovetores, então
é diagonalizável. A forma diagonal da matriz de
nessa base é
e a matriz de passagem
(colunas = autovetores) pode ser escolhida como
satisfazendo
. (Não é necessário calcular
explicitamente aqui, basta a base de autovetores e a diagonal
.)]
Passo 10
Pequeno reforço para a prova: memorize os passos padrão — escrever a matriz na base canônica, calcular
para achar autovalores, resolver
para os autovetores, verificar dimensões dos espaços próprios para concluir sobre diagonalização. Você conseguiu — respira, revise estes passos e faça alguns exercícios análogos para fixar.
Resposta
(a) Sim,
é linear.
(b) ,
;
,
.
(c) Autovalores: com autovetores
(multiplicidade algébrica
, multiplicidade geométrica
);
com autovetores
(multiplicidade algébrica
, multiplicidade geométrica
).
(b)
(c) Autovalores:
(d) Sim,
é diagonalizável. Uma base de autovetores é
e a matriz diagonal correspondente é
.]