Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por:
T(x, y, z)=(x, x-y, 2 x-y-z) .
Verifique se T é inversível e, caso positivo, determine a expressão de T^{-1}.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z)=(x,\;x-y,\;2x-y-z),
e pede para verificar se T é invertível e, em caso afirmativo, achar a fórmula de T^{-1}. Vamos usar representação matricial, cálculo de determinante e resolução de sistema linear.

Passo 2

Escrevendo T na base canônica, sua matriz é
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & -1& 0\\\\ 2 & -1& -1 \end{pmatrix},
pois
T(x,y,z) =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & -1& 0\\\\ 2 & -1& -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de A. Pela expansão na primeira linha,
\det A =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1&0\\\ -1&-1\end{pmatrix} =1\cdot\bigl((-1)(-1)-0\bigr) =1.
Como \det A=1\neq0, concluímos que T é invertível.

Passo 4

Para achar T^{-1}, seja
(u,v,w)=T(x,y,z),
isto é
u=x,\quad v=x-y,\quad w=2x-y-z.
Da primeira equação vem x=u.
Da segunda, y=x-v=u-v.
Da terceira,
w=2u-(u-v)-z \;\Longrightarrow\; z=2u-(u-v)-w =u+v-w.
Logo
(x,y,z)=(u,\;u-v,\;u+v-w).

Resposta

T^{-1}(u,v,w) = \bigl(u,\;u - v,\;u + v - w\bigr).

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