Dadas as bases
A=\{(1,1),(1,0)\} de
\mathbb{R}^{2} e
B=\{(1,2,0),(1,0,-1),(1,-1,3)\} de
\mathbb{R}^{3} , determinar a transformação linear
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} cuja matriz é:
[T]_{B}^{A}=\left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\\\ 1 & -2 \\\\ -1 & 3\end{array}\right]
Resolução:
Neste caso, vamos considerar um vetor genérico do espaço vetorial
\mathbb{R}^{2} , ou seja,
(x, y) \in \mathbb{R}^{2} .
Escrevemos esse vetor como uma combinação linear dos vetores que compõe sua base:
Nesta etapa, podemos determinar os valores dos coeficientes
a e
b :
(x, y)=a(1,1)+b(1,0) \rightarrow(x, y)=(a+b, a)\left\{\begin{array}{c} a+b=x \\\ a=y \end{array} \rightarrow y+b=x \rightarrow b=x-y\right.
Sendo assim, temos que:
(x, y)=y(1,1)+(x-y)(1,0) . Aplicando a transformação, temos que:
\begin{gathered} T(x, y)=T(y(1,1)+(x-y)(1,0)) \\\ T(x, y)=T(y \cdot(1,1))+T((x-y)(1,0)) \\\ T(x, y)=y T(1,1)+(x-y) T(1,0) \end{gathered}
Observe que para encontrar a lei formação temos que determinar os valores
T(1,1) e
T(1,0) . É nesta etapa que entra a matriz de uma transformação linear. Nesta matriz, a primeira coluna corresponde aos coeficientes da combinação linear de
T(1,1) e
T(1,0) na base B, ou seja:
\begin{gathered} {[T]_{B}^{A}=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ 1 & -2 \\\\ -1 & 3 \end{array}\right] \rightarrow\left\{\begin{array}{c} T(1,1)=2 \cdot(1,2,0)+1 \cdot(1,0,-1)+(-1) \cdot(1,-1,3) \\\ T(1,0)=0 \cdot(1,2,0)+(-2) \cdot(1,0,-1)+3 \cdot(1,-1,3) \end{array}\right.} \\\ \left\{\begin{array} { c } { T ( 1 , 1 ) = ( 2 , 4 , 0 ) + ( 1 , 0 , - 1 ) + ( - 1 , 1 , - 3 ) } \\\ { T ( 1 , 0 ) = ( 0 , 0 , 0 ) + ( - 2 , 0 , 2 ) + ( 3 , - 3 , 9 ) } \end{array} \rightarrow \left\{\begin{array}{c} T(1,1)=(2,5,-4) \\\ T(1,0)=(1,-3,11) \end{array}\right.\right. \end{gathered}
Então, temos que:
\begin{gathered} T(x, y)=y T(1,1)+(x-y) T(1,0) \rightarrow T(x, y)=y \cdot(2,5,-4)+(x-y)(1,-3,11) \\\ T(x, y)=(2 y, 5 y,-4 y)+(x-y,-3 x+3 y, 11 x-11 y) \rightarrow T(x y)=(x+y,-3 x+8 y, 11 x-15 y) \end{gathered}