Dadas as bases A=\{(1,1),(1,0)\} de \mathbb{R}^{2} e B=\{(1,2,0),(1,0,-1),(1,-1,3)\} de \mathbb{R}^{3}, determinar a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} cuja matriz é: [T]_{B}^{A}=\left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\\\ 1 & -2 \\\\ -1 & 3\end{array}\right]

Resolução:

Neste caso, vamos considerar um vetor genérico do espaço vetorial \mathbb{R}^{2}, ou seja, (x, y) \in \mathbb{R}^{2}.
Escrevemos esse vetor como uma combinação linear dos vetores que compõe sua base:
(x, y)=a(1,1)+b(1,0)
Nesta etapa, podemos determinar os valores dos coeficientes a e b :
(x, y)=a(1,1)+b(1,0) \rightarrow(x, y)=(a+b, a)\left\{\begin{array}{c} a+b=x \\\ a=y \end{array} \rightarrow y+b=x \rightarrow b=x-y\right.
Sendo assim, temos que: (x, y)=y(1,1)+(x-y)(1,0). Aplicando a transformação, temos que:
\begin{gathered} T(x, y)=T(y(1,1)+(x-y)(1,0)) \\\ T(x, y)=T(y \cdot(1,1))+T((x-y)(1,0)) \\\ T(x, y)=y T(1,1)+(x-y) T(1,0) \end{gathered}
Observe que para encontrar a lei formação temos que determinar os valores T(1,1) e T(1,0). É nesta etapa que entra a matriz de uma transformação linear. Nesta matriz, a primeira coluna corresponde aos coeficientes da combinação linear de T(1,1) e T(1,0) na base B, ou seja:
\begin{gathered} {[T]_{B}^{A}=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ 1 & -2 \\\\ -1 & 3 \end{array}\right] \rightarrow\left\{\begin{array}{c} T(1,1)=2 \cdot(1,2,0)+1 \cdot(1,0,-1)+(-1) \cdot(1,-1,3) \\\ T(1,0)=0 \cdot(1,2,0)+(-2) \cdot(1,0,-1)+3 \cdot(1,-1,3) \end{array}\right.} \\\ \left\{\begin{array} { c } { T ( 1 , 1 ) = ( 2 , 4 , 0 ) + ( 1 , 0 , - 1 ) + ( - 1 , 1 , - 3 ) } \\\ { T ( 1 , 0 ) = ( 0 , 0 , 0 ) + ( - 2 , 0 , 2 ) + ( 3 , - 3 , 9 ) } \end{array} \rightarrow \left\{\begin{array}{c} T(1,1)=(2,5,-4) \\\ T(1,0)=(1,-3,11) \end{array}\right.\right. \end{gathered}
Então, temos que:
\begin{gathered} T(x, y)=y T(1,1)+(x-y) T(1,0) \rightarrow T(x, y)=y \cdot(2,5,-4)+(x-y)(1,-3,11) \\\ T(x, y)=(2 y, 5 y,-4 y)+(x-y,-3 x+3 y, 11 x-11 y) \rightarrow T(x y)=(x+y,-3 x+8 y, 11 x-15 y) \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede a lei de formação da transformação linear
\,T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}
cuja matriz em relação à base
\,A=\{(1,1),(1,0)\} de \mathbb{R}^{2}
e à base
\,B=\{(1,2,0),(1,0,-1),(1,-1,3)\} de \mathbb{R}^{3}
é
[T]_{B}^{A} = \begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ 1 & -2\\\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
Vamos usar mudança de base e linearidade para encontrar T(x,y).

Passo 2

Dado um vetor genérico (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, escrevemos
(x,y)=a\,(1,1)+b\,(1,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a+b = x,\\\ a = y, \end{cases}
logo
a = y, \quad b = x - y.

Passo 3

As colunas de [T]_{B}^{A} são as coordenadas de T(1,1) e T(1,0) na base B.
Para T(1,1) temos o vetor coordenado \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}_{B}, isto é,
T(1,1) =2\,(1,2,0) +1\,(1,0,-1) +(-1)\,(1,-1,3) =(2,4,0)+(1,0,-1)+(-1,1,-3) =(2,5,-4).
Para T(1,0) a coordenada é \begin{pmatrix}0\\\ -2\\\ 3\end{pmatrix}_{B}, logo
T(1,0) =0\,(1,2,0) +(-2)\,(1,0,-1) +3\,(1,-1,3) =(0,0,0)+(-2,0,2)+(3,-3,9) =(1,-3,11).

Passo 4

Pela linearidade,
T(x,y) = a\,T(1,1) + b\,T(1,0) = y\,(2,5,-4) + (x-y)\,(1,-3,11).
Calculando coordenada a coordenada:
T(x,y) =(2y + (x-y),\;5y -3(x-y),\;-4y +11(x-y)) =(x+y,\;-3x+8y,\;11x-15y).

Resposta

T(x,y)=(x+y,\;-3x+8y,\;11x-15y).

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