Dadas as bases A=\{(1,1),(1,0)\} de \mathbb{R}^{2} e B=\{(1,2,0),(1,0,-1),(1,-1,3)\} de \mathbb{R}^{3}, determinar a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} cuja matriz é: [T]_{B}^{A}=\left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\\\ 1 & -2 \\\\ -1 & 3\end{array}\right]
Resolução:
Neste caso, vamos considerar um vetor genérico do espaço vetorial \mathbb{R}^{2}, ou seja, (x, y) \in \mathbb{R}^{2}.
Escrevemos esse vetor como uma combinação linear dos vetores que compõe sua base:
(x, y)=a(1,1)+b(1,0)
Nesta etapa, podemos determinar os valores dos coeficientes a e b :
Observe que para encontrar a lei formação temos que determinar os valores T(1,1) e T(1,0). É nesta etapa que entra a matriz de uma transformação linear. Nesta matriz, a primeira coluna corresponde aos coeficientes da combinação linear de T(1,1) e T(1,0) na base B, ou seja:
\begin{gathered} T(x, y)=y T(1,1)+(x-y) T(1,0) \rightarrow T(x, y)=y \cdot(2,5,-4)+(x-y)(1,-3,11) \\\ T(x, y)=(2 y, 5 y,-4 y)+(x-y,-3 x+3 y, 11 x-11 y) \rightarrow T(x y)=(x+y,-3 x+8 y, 11 x-15 y) \end{gathered}
Passo 1
O enunciado pede a lei de formação da transformação linear \,T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}
cuja matriz em relação à base \,A=\{(1,1),(1,0)\} de \mathbb{R}^{2}
e à base \,B=\{(1,2,0),(1,0,-1),(1,-1,3)\} de \mathbb{R}^{3}
é
Vamos usar mudança de base e linearidade para encontrar T(x,y).
Passo 2
Dado um vetor genérico (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, escrevemos
(x,y)=a\,(1,1)+b\,(1,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a+b = x,\\\ a = y, \end{cases}
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a = y, \quad b = x - y.
Passo 3
As colunas de [T]_{B}^{A} são as coordenadas de T(1,1) e T(1,0) na base B.
Para T(1,1) temos o vetor coordenado \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}_{B}, isto é,