Considere a transformação linear T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(2 x+z, x-y, z).
Determine a matriz de T em relação à base canônica;

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (2x + z,;x - y,;z),
e pede a matriz de T na base canônica de R^3. Para isso, vamos usar o fato de que, na base canônica e1,e2,e3, a matriz de T tem como colunas as imagens T(ei).

Passo 2

Lembrando que a base canônica é
e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1),
então basta calcular T(e1), T(e2) e T(e3).

Passo 3

Calculemos cada imagem:
T(e1) = T(1,0,0) = (2cdot1+0,;1-0,;0) = (2,1,0),
T(e2) = T(0,1,0) = (2cdot0+0,;0-1,;0) = (0,-1,0),
T(e3) = T(0,0,1) = (2cdot0+1,;0-0,;1) = (1,0,1)

Passo 4

A matriz de T na base canônica tem colunas T(e1), T(e2) e T(e3). Logo,
A = 2 & 0 & 1 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1

Resposta

2 & 0 & 1 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1

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