Um fuso de 10^circ de uma esfera de 1 cm de raio é equivalente a uma secção plana da esfera. Determine a distância da secção ao centro da esfera.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de raio R=1 cm e um fuso de ângulo central de 10^circ. Um fuso de uma esfera é o sólido limitado por duas semirretas que saem do centro e por uma superfície esférica; o seu volume é fração do volume da esfera dado pelo quociente do ângulo sobre 360^circ. Para encontrar a secção plana equivalente, vamos usar a fórmula do volume de um calote esférico recortado por um plano a uma distância d do centro.

Passo 2

O volume da esfera é
Vesf = 43pi R^3 = 43picdot1^3 = 4pi3
Como o fuso tem ângulo de 10^circ, seu volume é
Vfuso = 10^circ360^circ,Vesf = 10360cdot4pi3 = 136cdot4pi3 = pi27

Passo 3

O volume de um calote esférico de altura h (medida a partir do plano até o topo da esfera) é
Vcalote = pi h^2 (3R - h)3
Se o plano está a uma distância d do centro, então
h = R - d = 1 - d
Logo,
Vcalote = pi,(1 - d)^2l(3cdot1 - (1 - d)r)3 = pi,(1 - d)^2(2 + d)3

Passo 4

Para que o calote tenha o mesmo volume do fuso, impomos
pi,(1 - d)^2(2 + d)3 = pi27
Cancelando pi e multiplicando ambos os lados por 3,
(1 - d)^2(2 + d) = 19
Expandindo (1 - d)^2(2 + d) obtém-se a equação cúbica
d^3 -3d +2 = 19,
ou
9d^3 -27d +17 = 0

Passo 5

Resolvendo numericamente 9d^3 -27d +17 = 0 no intervalo 0<d<1, encontramos
d approx 0,80;cm

Resposta

A distância da secção ao centro da esfera é aproximadamente 0,80 cm.

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