Um fuso de
de uma esfera de 1 cm de raio é equivalente a uma secção plana da esfera. Determine a distância da secção ao centro da esfera.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera de raio
cm e um fuso de ângulo central de
. Um fuso de uma esfera é o sólido limitado por duas semirretas que saem do centro e por uma superfície esférica; o seu volume é fração do volume da esfera dado pelo quociente do ângulo sobre
. Para encontrar a secção plana equivalente, vamos usar a fórmula do volume de um calote esférico recortado por um plano a uma distância
do centro.
Passo 2
O volume da esfera é
Como o fuso tem ângulo de
, seu volume é
Passo 3
O volume de um calote esférico de altura
(medida a partir do plano até o topo da esfera) é
Se o plano está a uma distância
do centro, então
Logo,
Passo 4
Para que o calote tenha o mesmo volume do fuso, impomos
Cancelando
e multiplicando ambos os lados por 3,
Expandindo
obtém-se a equação cúbica
ou
Passo 5
Resolvendo numericamente
no intervalo
, encontramos
Resposta
A distância da secção ao centro da esfera é aproximadamente
cm.