Dê uma interpretação geométrica de por que um sistema linear homogêneo com duas equações a três incógnitas deve ter um número infinito de soluções. Quais os possíveis números de soluções para um sistema linear não homogêneo 2 times 3? Dê uma explicação geométrica para sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) uma interpretação geométrica para explicar por que um sistema linear homogêneo com 2 equações e 3 incógnitas tem sempre infinitas soluções; (ii) para um sistema não homogêneo 2times3, quais são os possíveis números de soluções, junto com a interpretação geométrica. Vamos precisar dos conceitos de dimensão do núcleo (teorema da dimensão), posto da matriz e da noção de interseção de planos em R^3.

Passo 2

Para o caso homogêneo consideramos a matriz . Pelo Teorema da Dimensão (ou Teorema da Rumo–Núcleo) vale
onde é o número de colunas. Como , segue
Isso quer dizer que o espaço de soluções tem dimensão pelo menos , logo contém infinitos vetores (não se limita ao trivial).
Geométricamente, cada equação homogênea define em um plano passando pela origem. A interseção de dois desses planos (se não coincidem) é uma reta que também passa pela origem; se coincidem, a interseção é o próprio plano. Em ambos os casos a solução não se reduz a um ponto: é uma reta ou um plano, portanto infinitas soluções.

Passo 3

Agora, para o sistema não homogêneo com :
– Se for inconsistente (planos paralelos e distintos), não há solução.
– Se for consistente, a dimensão do espaço de soluções é novamente . Como pode ser ou , essa dimensão é ou , em ambos os casos dando infinitas soluções.
Na interpretação geométrica em , cada equação não homogênea é um plano não necessariamente pelo . Dois planos genéricos podem:
– não se cortar (paralelos distintos) nenhuma solução;
– coincidir interseção é o plano todo infinitas soluções;
– cruzar-se ao longo de uma reta interseção é uma reta infinitas soluções.

Resposta

Para o sistema homogêneo 2times3: sempre infinitas soluções.
Para o sistema não homogêneo 2times3: ou nenhuma solução, ou infinitas soluções.

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