Dê uma interpretação geométrica de por que um sistema linear homogêneo com duas equações a três incógnitas deve ter um número infinito de soluções. Quais os possíveis números de soluções para um sistema linear não homogêneo
? Dê uma explicação geométrica para sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) uma interpretação geométrica para explicar por que um sistema linear homogêneo com
equações e
incógnitas tem sempre infinitas soluções; (ii) para um sistema não homogêneo
, quais são os possíveis números de soluções, junto com a interpretação geométrica. Vamos precisar dos conceitos de dimensão do núcleo (teorema da dimensão), posto da matriz e da noção de interseção de planos em
.
Passo 2
Para o caso homogêneo consideramos a matriz
. Pelo Teorema da Dimensão (ou Teorema da Rumo–Núcleo) vale
onde
é o número de colunas. Como , segue
Isso quer dizer que o espaço de soluções tem dimensão pelo menos
, logo contém infinitos vetores (não se limita ao trivial).
Geométricamente, cada equação homogênea define em
um plano passando pela origem. A interseção de dois desses planos (se não coincidem) é uma reta que também passa pela origem; se coincidem, a interseção é o próprio plano. Em ambos os casos a solução não se reduz a um ponto: é uma reta ou um plano, portanto infinitas soluções.
Passo 3
Agora, para o sistema não homogêneo
com
:
– Se for inconsistente (planos paralelos e distintos), não há solução.
– Se for consistente, a dimensão do espaço de soluções é novamente . Como pode ser ou
, essa dimensão é
ou
, em ambos os casos dando infinitas soluções.
– Se for inconsistente (planos paralelos e distintos), não há solução.
– Se for consistente, a dimensão do espaço de soluções é novamente . Como pode ser
Na interpretação geométrica em
, cada equação não homogênea é um plano não necessariamente pelo
. Dois planos genéricos podem:
– não se cortar (paralelos distintos) nenhuma solução;
– coincidir interseção é o plano todo
infinitas soluções;
– cruzar-se ao longo de uma reta interseção é uma reta
infinitas soluções.
– não se cortar (paralelos distintos)
– coincidir
– cruzar-se ao longo de uma reta
Resposta
Para o sistema homogêneo
: sempre infinitas soluções.
Para o sistema não homogêneo : ou nenhuma solução, ou infinitas soluções.
Para o sistema não homogêneo