a Encontre a base e a forma de Jordan de .
b Descreva todos os subespaços -invariantes.
Passo 1
O exercício dá a transformação linear definida por
Precisamos achar a base que leva à forma de Jordan e descrever todos os subespaços invariantes por . Vamos usar teoria de polinômio característico, autovalores, autovetores e cadeias de Jordan.
Passo 2
Para achar o polinômio característico, escrevemos a matriz de na base canônica :
Como essa matriz é em bloco-triangular com blocos 2×2, o determinante de A-lambda I é det Bcdotdet D, onde
Analisando autovalores e suas multiplicidades geométricas:
Para lambda=0: resolvendo Av=0 obtemos dimensão do núcleo = 1, com um autovetor v0=(-1,1,0,0).
Para lambda=2: resolvendo (A-2I)v=0 dá dimensão do núcleo = 1, com autovetor v1=(0,1,0,0).
Como o autovalor 2 tem multiplicidade algébrica 3 e geométrica 1, formará um bloco de Jordan de tamanho 3; o autovalor 0 forma um bloco 1×1.
Passo 4
Construímos a cadeia de Jordan para lambda=2. Primeiro escolhemos v1 como autovetor e, em seguida, vetores gerais v2,v3 tais que
e todos os subespaços invariantes por T são as somas diretas de prefixos das cadeias de Jordan. Mais precisamente, qualquer subespaço U de R^4 com T(U)subseteq U é da forma
b) Os subespaços T-invariantes são exatamente as somas diretas dos espaços gerados pelos prefixos das cadeias de Jordan. Ou seja, para cada k=0,1,2,3 e para a opção de incluir ou não v0, temos