Considere a transformação linear T: R^4 R^4 dada por
T(x, y, z, w)=(3 z+w, 2 x+2 y-4 z+2 w, z+w, 3 w-z)
a Encontre a base e a forma de Jordan de T.
b Descreva todos os subespaços T-invariantes.

Passo 1

O exercício dá a transformação linear T: R^4to R^4 definida por
T(x,y,z,w)=(3z+w,;2x+2y-4z+2w,;z+w,;3w-z)
Precisamos achar a base que leva T à forma de Jordan e descrever todos os subespaços invariantes por T. Vamos usar teoria de polinômio característico, autovalores, autovetores e cadeias de Jordan.

Passo 2

Para achar o polinômio característico, escrevemos a matriz de T na base canônica e1,e2,e3,e4:
A= 0 & 0 & 3 & 1 2 & 2 & -4 & 2 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & -1 & 3
Como essa matriz é em bloco-triangular com blocos 2×2, o determinante de A-lambda I é det Bcdotdet D, onde
B=-lambda & 02 & 2-lambda, D=1-lambda &1-1 &3-lambda
Calcula-se
det B=lambda(lambda-2), det D=(lambda-2)^2,
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chiT(lambda)=det(A-lambda I)=lambda(lambda-2)^3

Passo 3

Analisando autovalores e suas multiplicidades geométricas:
  • Para lambda=0: resolvendo Av=0 obtemos dimensão do núcleo = 1, com um autovetor
    v0=(-1,1,0,0).
  • Para lambda=2: resolvendo (A-2I)v=0 dá dimensão do núcleo = 1, com autovetor
    v1=(0,1,0,0).
    Como o autovalor 2 tem multiplicidade algébrica 3 e geométrica 1, formará um bloco de Jordan de tamanho 3; o autovalor 0 forma um bloco 1×1.

Passo 4

Construímos a cadeia de Jordan para lambda=2. Primeiro escolhemos v1 como autovetor e, em seguida, vetores gerais v2,v3 tais que
(A-2I)v2=v1,
(A-2I)v3=v2
Resolvendo, achamos uma escolha conveniente
v2=(1,0,tfrac12,tfrac12), v3=(-tfrac34,0,-tfrac14,tfrac14)
Assim, a base de Jordan é

Passo 5

Na base B, a forma de Jordan de T é
J= 0 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 2 ,
e todos os subespaços invariantes por T são as somas diretas de prefixos das cadeias de Jordan. Mais precisamente, qualquer subespaço U de R^4 com T(U)subseteq U é da forma
U= spanv1,dots,vk,&k=0,1,2,3, spanv0,v1,dots,vk,&k=0,1,2,3

Passo 6

Em particular, há 8 subespaços invariantes: para k=0,1,2,3 escolhemos (a) spanv1,dots,vk ou (b) spanv0,v1,dots,vk.

Resposta

a) Uma base de Jordan é
B=v0,;v1,;v2,;v3, com
v0=(-1,1,0,0), v1=(0,1,0,0), v2=(1,0,tfrac12,tfrac12), v3=(-tfrac34,0,-tfrac14,tfrac14)
Na base B, a matriz de T é a forma de Jordan
J= 0 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 2
b) Os subespaços T-invariantes são exatamente as somas diretas dos espaços gerados pelos prefixos das cadeias de Jordan. Ou seja, para cada k=0,1,2,3 e para a opção de incluir ou não v0, temos
U=spanv1,dots,vkou U=spanv0,v1,dots,vk,

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